جمله عمومی الگوهای خطی و غیرخطی درجه۲

در ویدیو آموزش الگو و دنباله ریاضی دهم خلاصه ای از نکات الگوهای خطی و غیرخطی درجه ۲ را با هم یاد آوری می کنیم.

جمله عمومی الگوهای خطی و غیرخطی درجه۲

خلاصه نکات دنباله های خطی و غیرخطی درجه دو

فرمول جمله عمومی دنباله الگوهای خطی tn = an + b است که a مقدار ثابتی است که میزان افزایش یا کاهش اعداد در دنباله را مشخص می کند.

مثلا در دنباله …,۸,۵,۲,۱

برای یافتن جمله n ام، می بینیم در هر مرحله سه واحد از اعداد کم شده است. هنگامی که در تمام مراحل یک عدد کم یا زیاد می شود، دنباله حسابی و الگوی آن خطی است.

این عدد، ضریب n است پس در نتیجه a = -3 است و برای یافتن b نیز به اینگونه عمل می کنیم که جمله قبل تر از اولین جمله دنباله را حدس می زنیم. یعنی قبل از ۸ چه عددی بوده که از آن سه واحد کم شده و عدد ۸ حاصل شده است؟

عدد ۱۱، پس b = 11 است. پس حال می توانیم جمله n ام این الگوی خطی را بنویسیم:

tn = -3n + 11

الگوهای غیرخطی :

الگوهای غیرخطی درجه دو

جمله عمومی دنباله درجه دو به صورت  tn= an^2+bn+c است. درجه به بیشترین توان موجود در عبارت گفته می شود.

به عنوان مثال، برای یافتن جمله n ام در دنباله زیر:

   …,۴,۱۳,۲۶,۴۳

شروع به بررسی می کنیم که اعداد دنباله در ابتدا با افزایش مقدار ۹، سپس ۱۳ و جمله بعدی هم با جمع با عدد ۱۷ شکل گرفته است.

می بینیم که در هر مرحله عدد یکسانی اضافه یا کم نشده است، پس در نتیجه این الگو غیرخطی است. پس به بررسی اعداد در مرحله دوم، یعنی به ارتباط بین اعداد ۹, ۱۳, ۱۷ می پردازیم. و عدد ثابت ۴ را می یابیم که در هرمرحله اضافه شده و عدد بعدی را شکل داده است.

هنگامی که در مرحله دوم عدد ثابتی را یافتیم پس دنباله غیرخطی درجه دو است.

برای بدست اوردن جمله عمومی دنباله درجه ۲ :

  • عدد ثابت مرحله دوم را برابر ۲a
  • اولین عدد مرحله اول را برابر با ۳a + b
  • اولین عدد دنباله را نیز  a + b + c

قرار می دهیم. یعنی به این تزتیب عمل می کنیم:

۲a = 4               ,   a = 2

۳a + b = 9         , ۶ + b = 9                ,  b = 3

a + b + c = 4     ,   ۲ + ۳ + c = 4        , c = -1

پس حالا به راحتی می توانیم جمله n ام الگوهای خطی درجه دو را به دست بیاوریم:

tn= (2n)^2+3n-1

همچنین الگوهای غیر خطی با درجات بالاتر، درجه دو، سه و بالاتر هم داریم مثل دنباله درجه سه و.. . اما این راهکار فرمولی برای بدست آوردن جمله عمومی دنباله درجه ۲ در الگوهای غیرخطی درجه دو است.