کسر مسلسل – کسر تلسکوپی – دبیرستان سروش

فیلم آموزش کسر های تلسکوپی پایه هشتم

 

فیلم آموزش کسر های تلسکوپی و مسلسلی

کسر مسلسل، مرکب یا چند طبقه کسری است که الگویی مانند الگوی زیر داشته باشد:

در این الگو به جای عدد یک ممکن است متغییر داشته باشیم. و تمام این اعداد و متغییرها همگی عضو مجموعه اعداد صحیح هستند. علامت سه نقطه نیز نشانه آن است که این الگو می تواند تا بی نهایت ادامه یابد.

برای ساده کردن کسرهای مسلسلی باید از کوتاه ترین خط کسری شروع کنیم به ساده کردن.

نمونه سوال کسر های مسلسلی

کسرهای زیر را به کسر مسلسلی تبدیل کنید.

3+1/(5/3)=3+3/5=18/5

 3+1/(1+2/3) =

3+1/(1+(1/(1+1/2))) =

اولین کاری که برای تبدیل این کسر به کسر تلسکوپی، نوشتن واحد کاملی است که در کسر داده می بینیم. در اینجا عدد ۳ است که آن را یادداشت می کنیم.

حال کسر دوم را معکوس می کنیم. حال عدد کامل کسر 5/3 را بیرون می کشیم و مجدد کسر دوم را معکوس می کنیم.

به همین صورت ادامه میدهیم، تا جایی که از حالت کسر خارج نشود.

مثال:

1+1/(2+1/3)=1+1/(7/3)=1+3/7=10/7

با حل مثال دوم نیز درمی یابیم که همواره ساده کردن را تا جایی ادامه دهیم که: به کسری در پایان کسر مسلسل خود برسیم که صورت آن یک باشد.

نوع دیکری از مسائل این قسمت که ساده تر هم هست، ساده کردن یک کسر مسلسلی است. در اینجا هم از ساده ترین کسر شروع می کنیم به ساده کردن.

مثال:

3+1/4-1/(3/2)=3+1/(4-1/(2-1/2))

=3+1/(10/3)=3+1/(4-2/3)

3+3/10= 33/10=

نمونه سوال کسر تلسکوپی

کسرهایی هستند که مخرج شان حاصل ضرب دو عدد و صورت آن ها تفاضل آن دو عدد است. که آن ها را برابر با تفاضل معکوس مخرج ها قرار دهیم به صورتی که کسر بزرگ تر منهای کسر کوچک تر می شود.

(a-b)/a*b = 1/a - 1/b

مثال:

1/4 - 1/5=1/4*5

1/6 - 1/11=5/6*11

تمرین کسر تلسکوپی

1/3*4+1/4*5+1/5*6+...+1/19*20 =

1/3-1/4+1/4-1/5+1/5-1/6+1/6- ... -1/19+1/19-1/20 = 1/3 - 1/20 = 17/20

در این مثال می بینیم با نوشتن تفاضل ها تنها کسر ابتدایی و پایانی باقی می ماند.

اما هنوز هم نوع دیگری از مسائل کسرهای تلسکوپی وجود دارند که در ادامه به آن می پردازیم:

2/8*11+2/11*14+2/14*17+...+2/29*32 =

1/8-1/11+1/11-1/14+1/14-1/17+...+1/29-1/32 = 2/3 * (1/8 - 1/32) = 1/16

همانطور که در این مثال می بینیم تفاضل مخرج ها برابر با ۳ است در حالیکه در صورت عدد ۲ داریم. بنابراین برای حل این کسر تلسکوپی سخت ، عدد ۲ را از صورت فاکتور می گیریم اما در انتها در جواب خود ضرب می کنیم.

حال در صورت عدد یک را داریم که باز برابر با تفاضل مخرج ها نیست. می توانیم صورت را ۳ فرض کنیم اما در صورتی که عبارت را در کسر خنثی 3/3 ضرب کرده باشیم. یعنی جواب آخر را بر عدد ۳ تقسیم خواهیم کرد.

پس به طور کلی جواب آخر باید در کسر 2/3 ضرب شود. و حالا به راحتی حاصل کسر تلسکوپی را مانند مثال های قبل به دست می آوریم.