زمان مطالعه: ۶ دقیقه

عددهای صحیح در زندگی روزمره ی ما کاربرد های زیادی دارند. یکی از رایج ترین آن ها تفاضل گل بین تیم های فوتبال و ورزش های دیگر است که زیاد آن را مشاهده می کنیم.عددهای صحیح کاربرد هایی دیگری مانند بیان وضعیت سرما و گرمای هوا دارد. برای مثال دمای هوای بندرانزلی ۱۵+ است و دمای هوای اردبیل ۲- است. همچنین عمق و ارتفاع نسبت به سطح زمین و دریا را با استفاده از عددهای صحیح نشان می دهند، برای مثال ارتفاع یک غواص نسبت به سطح دریا ۷+ است. در ساختمان ها طبقه های بالای همکف را با + و طبقه های پایین همکف،مانند پارکینگ را با –نشان می دهند. در نتیجه عددهای صحیح کاربرد های فراوانی در زندگی روزمره ما دارند.

عددهای صحیح

به مجموعه ی عددهای طبیعی (۱، ۲، ۳ و …) و قرینه ی عددهای طبیعی (-۱، -۲، -۳ و …) و عدد صفر (زمانی که بخواهیم مفهوم هیچ را بیان کنیم)، عددهای صحیح می گویند. این مجموعه اعداد را معمولا با Z یا \mathbb{Z} نمایش می دهند که دارای شمارای نامتناهی است.

پس عددهای صحیح به سه دسته تقسیم می شوند:

  • عددهای صحیح مثبت:         … و ۳+، ۲+،۱+
  • عدد صفر:                        ۰
  • عددهای صحیح منفی:        … و ۳-، ۲-، ۱-

نکاتی درباره ی عددهای صحیح

  • در نوشتن عددهای مثبت، می توان علامت + را حذف می کنیم.در واقع عددهای بدون علامت مثبت هستند.
  • عددهای صحیح مثبت، همان عددهای طبیعی هستند. یعنی ۱=۱+ ، ۲=۲+ و …
  • عدد صفر نه مثبت است نه منفی. یعنی صفر تنها عدد صحیحی است که نه مثبت است نه منفی.

نشان دادن یک زاویه با عددهای صحیح

در شکل زیر جسم متحرکی روی محیط دایره ای در نقطه ی A و به مرکز O قرار دارد. در وضعیت OA زاویه ی صفر درجه نشان داده شده است.اگر جسم متحرک در جهت عقربه های ساعت حرکت کند و به Á برسد، یک زاویه ایجاد می شود که علامت آن منفی است. و اگر جسم متحرک در جهت خلاف عقربه های ساعت به نقطه ی Á برسد، از علامت مثبت استفاده می کنیم.

تعیین علامت زاویه ها

برای مثال در شکل های زیر،چند زاویه با عدد علامت دار نشان داده شده است.

مثال برای علامت زاویه ها

محور عدد های صحیح

محور عدد های صحیح از سه قسمت تشکیل شده است. سمت راست محور که دارای جهت مثبت، سمت چپ محور دارای جهت منفی و نقطه ای برای مبدا (شروع) که همان صفر می باشد. از این محور برای نمایش عدد های صحیح استفاده می شود.

محور اعداد

نکاتی درباره ی محور اعداد

  • هر عدد مثبت از هر عدد منفی بزرگ تر است.
  • صفر علامت ندارد؛ یعنی نه مثبت است نه منفی.
  • کوچک ترین عدد صحیح مثبت، ۱+ است و بزرگ ترین عدد صحیح مثبت وجود ندارد.
  • بزرگ ترین عدد صحیح منفی ۱- است و کوچک ترین عدد صحیح منفی وجود ندارد.
  • عدد های صحیح مثبت از صفر بزرگ تر هستند و عدد های صحیح منفی از صفر کوچک تر هستند.

مقایسه عدد های صحیح

بر روی محور اعداد هرچه به سمت مثبت (راست) برویم، عدد ها بزرگ تر می شوند، و هرچه به سمت منفی (چپ) برویم عددها کوچک تر می شوند. به عنوان مثال:

۲+ > 5- ، ۳- < 0 ، ۵- > 10- ، ۱+ > -4

قرینه ی عددهای صحیح

با توجه به محور عدد های صحیح متوجه می شویم اگر دو عدد در سمت های مختلف محور قرار داشته باشند،و هردو از مبدا (صفر) به یک فاصله باشند، قرینه ی هم هستند. برای مثال به محور اعداد زیر توجه کنید. می بینید که فاصله ی اعداد ۴+ و ۴- از مبدا (صفر) به یک اندازه است.یعنی ۴ واحد است. ۴- سمت چپ مبدا و ۴+ سمت راست مبدا است و هردو به یک فاصله از مبدا قرار دارند.به این دو عدد قرینه می گوییم.یعنی ۴+ قرینه ی ۴- است.

قرینه ی اعداد صحیح

نکاتی درباره ی قرینه ی عدد های صحیح

  • در ریاضی قرینه را با علامت منفی نشان می دهند: ۸+ = (۸-)- = قرینه ی ۸-  ،  ۱- = (۱+)- =قرینه ی ۱+
  • علامت مثبت پشت یک عدد را می توان در نظر نگرفت. یعنی: ۷- = (۷+)- یا ۷=۷+
  • قرینه ی قرینه ی هر عدد با خود آن عدد برابر است: ۵- = ((۵-)-)- =قرینه ی قرینه ی ۵-
  • قرینه ی هر عدد منفی، عددی مثبت است و قرینه ی هر عدد مثبت، عددی منفی است.
  • قرینه ی عدد صفر خود صفر است.

حرکت روی محور عدد های صحیح

برای نشان دادن حرکت روی محور عددهای صحیح میتوانیم از عددهای علامت دار استفاده کنیم.به این صورت که اگر جهت حرکت به سمت مثبت (راست) محور باشد، آن را با علامت مثبت نشان می دهیم، و اگر جهت حرکت به سمت منفی (چپ) باشد، آن را با منفی نشان می دهیم.اگر در محور عدد ها روی یک نقطه باشیم و هیچ گونه حرکتی نداشته باشیم، آن را با عدد صفر می توانیم نمایش دهیم.

حرکت روی محور اعداد

جمع و تفریق عدد های صحیح

جمع و تفریق با استفاده از محور اعداد

برای هر دو حرکت روی محور عددهای صحیح می توانیم یک جمع بنویسیم. همچنین برای به دست آوردن حاصل تفریق به کمک محور اعداد، باید تفریق را به جمع تبدیل کنیم.

  • توجه داشته باشید که حاصل جمع هر عدد صحیح با صفر، خود آن عدد خواهد بود.
  • همچنین حاصل جمع هر عدد صحیح با قرینه اش، صفر خواهد شد.

 

جمع و تفریق روی محور اعداد

(۳-) = (۶-) + (۳+)

جمع و تفریق روی محور اعداد

(۳+) = (۴-) + (۷+)

 

جمع و تفریق با استفاده از شکل های قراردادی

اگر دایره ی تو پر نشان دهنده ی -۱ و دایره ی تو خالی نشان دهنده ی ۱+ باشد می توانیم حاصل جمع و تفریق عدد های صحیح را با رسم دایره های تو پر و تو خالی به دست آوریم.

 

جمع و تفریق عدد های صحیح

جمع و تفریق با استفاده از روش ارزش مکانی

یکی دیگر از روش های جمع و تفریق عدد های صحیح، استفاده از جدول ارزش مکانی است.در این روش می توانیم جمع و تفریق دو یا چند عدد دو رقمی یا چند رقمی را به جمع و تفریق عدد های یک رقمی تبدیل کنیم و با توجه به جدولی که رسم کرده ایم، حاصل را به دست بیاوریم.

مثال:

 

جمع و تفریق عدد های صحیح

مثال:

 

جمع و تفریق اعداد صحیح

 

تعیین علامت حاصل جمع و تفریق

برای تعیین علامت و محل تقریبی محل جواب بر روی محور اعداد، باید به ازای مقدارهای مثبت، به سمت راست محور حرکت کنیم. و برای مقدارهای منفی به سمت چپ محور حرکت کنیم.

برای مثال به  شکل زیر توجه کنید. می خواهیم به صورت تقریبی محل جواب و علامت آن را تعیین کنیم. با توجه به عددهای مثال می دانیم که ۶۳ + (۳۳-)، پس در ابتدا باید ۳۳ واحد به سمت چپ حرکت کنیم، و سپس از نقطه ای که به آن می رسیم، ۶۳ واحد به سمت راست حرکت می کنیم.بنابراین نقطه ی پایانی (حاصل جمع)، سمت راست مبدا (صفر) قرار می گیرد.یعنی جواب مسئله مثبت می باشد.

محور اعداد

نکاتی درباره ی تعیین علامت حاصل جمع یا تفریق

  • در جمع دو عدد صحیح، اگر هردو عدد هم علامت باشند، علامت حاصل جمع با علامت عدد ها مشابه است. یعنی :

۳۴+ = (۱۹+) + (۱۵+)

۱۴- = (۸-) + (۶-)

  • در جمع دو عدد صحیح، اگر علامت دو عدد متفاوت باشد، علامت حاصل جمع با علامت عددی که بدون در نظر گرفتن علامتش بزرگ تر است، یکسان است.

برای مثال در حاصل جمع زیر، بدون در نظر گرفتن علامت عددها،چون مقدار ۲۰ بیشتر است، پس علامت جواب، هم علامت با ۲۰ است.

۱۶+ = (۴-) + (۲۰+)

ضرب و تقسیم عددهای صحیح

برای ضرب و تقسیم عدد های صحیح، ابتدا باید با استفاده از جدول ضرب علامت ها، عبارت را تعیین علامت می کنیم، و سپس با ضرب یا تقسیم عددها،مقدار نهایی عبارت را به دست می آوریم.

نکاتی درباره ضرب و تقسیم عدد های صحیح

  • حاصل ضرب یک عدد مثبت در عدد مثبت دیگر، همواره عددی مثبت است.
  • حاصل ضرب یک عدد مثبت در عدد منفی، همواره عددی منفی است.
  • حاصل ضرب یک عدد منفی در عدد منفی دیگر، همواره عددی مثبت است.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *