زمان مطالعه: ۶ دقیقه

مقدمه اول فصل

الگوهای سازی

در ریاضیات دو دسته الگو داریم:

الگوی عددی

در این روش اعداد طبق یک الگو نوشته می شوند (یعنی هر عددی مدنظر ما نیست و باید براساس یک رابطه نوشته شوند).

الگوی هندسی

در این الگو اشکال طبق یک دستور نمایش داده می شوند و در میان آن ها ارتباطی برقرار است.

متغیر

برای بیان یک عدد نامعلوم معمولا از یک حرف انگلیسی استفاده می شود. به عنوان مثال اگر طول ضلع یک مربع b باشد، محیط آن مربع ۴×b می باشد.

مثال: ابتدا سه عدد بعدی هر الگو را بنویسید و سپس تعیین کنید جمله ی ۱۵ ام چه عددی خواهد بود (الگو عددی).

ابتدا باید با توجه به اعداد داده شده ببینیم چه الگویی در آن ها رعایت شده و بعد با استفاده از الگو، عددهای بعدی را به راحتی به دست آوریم.

مثال برای الگوی عددی

نکته: یادمان باشد برای الگوی عددهای زوج، جمله ی n ام بصورت ۲n، و برای الگوی عددهای فرد جمله ی n ام بصورت (۲n-1) خواهد بود.

مثال: در شکل زیر یک الگوی مثلثی از نقاط را میبینیم که در شکل بعدی، یک ردیف نقطه به آن اضافه شده تا مثلث شکل خود را حفظ کند. شکل زیر به بررسی این الگوی هندسی می پردازد.

مثال برای الگوی هندسی

نکته: در الگوهایی که اختلاف بین جملات متوالی ثابت است (به عنوان مثال ۳,۸,۱۳,… که اختلاف تمام اعداد ۵ می باشد)، جمله ی دلخواه یا همان جمله ی n ام با استفاده از روابط زیر به دست می آید:

مثال برای عبارات جبری

 

 

 

پس اگر بخواهیم جمله ی ۱۰ ام از این الگو را به دست بیاوریم فقط کافیست داخل رابطه ی بالا به جای n، عدد ۱۰ را جاگذاری کنیم.

مثال برای الگویابی

نکته: حواسمون باشه شرط استفاده از این رابطه اینه که فاصله ی جمله ها یک عدد ثابت باشه.

مثال: اگر ما ۱ میلیون تومان در بانک بگذاریم، سود ماهیانه ی آن ۳۰۰.۰۰۰ تومان خواهد بود. در ماه n ام پول ما چقدر خواهد شد؟

جواب مثال سود بانک

عبارت های جبری و مقدار عددی یک عبارت جبری

در یک عبارت جبری حروف (متغیرها) و اعداد با هم در ارتباط هستند. به زبان ساده تر هرگاه متغییر و اعداد به وسیله ی ضرب، جمع، تقسیم و … به هم متصل بودند، ما یک عبارت جبری داریم.

می توان برای اتفاقات روزمره یک عبارت جبری نوشت و مسائل را ساده تر کرد.

محیط شکل های زیر به کمک متغیرها، با عبارت جبری به صورت زیر نوشته شده:

مثال برای عبارات جبری

عبارت های زیر همگی جبری می باشند:

مثال برای عبارات جبری

 

 

یک جمله ای

اگر عبارت جبری ما حاصل ضرب عدد در یک یا چند متغیر باشد، یک جمله ای داریم.

مثال برای یک جمله ای

 

 

نکته: اگر در بین متغیرها از جمع، تفریق و یا تقسیم استفاده کردیم، دیگر یک جمله ای نیستند.
نکته: همه ی اعداد یک جمله ای می باشند.
نکته: در عبارت های جبری ما هرگز از علامت × استفاده نمی کنیم و گاهی برای نمایش ضرب دو متغیر از علامت « . » (نقطه) استفاده می کنیم.

ضرب عدد در یک عبارت یک جمله ای

در این روش بدون اینکه تغییری در متغیرها ایجاد کنیم، فقط عدد را در متغیرها ضرب می کنیم (فقط به متغیرها ضریب عددی می دهیم).

مثال:ضرب عدد در یک عبارت یک جمله ای

 

ضرب عدد در یک عبارت جبری( غیر یک جمله ای)

در این روش باید عدد را در تمام یک جمله ای ها ضرب کرد:

ضرب چند جمله ای

 

 

یک جمله ای متشابه

اگر متغیر یا متغیرهای یک جمله ای ها یکسان باشد، یک جمله ای متشابه داریم.

به راحتی متشابه ها را در عبارات، باید شناسایی کنیم چون در مرحله ی بعدی باهاشون کار داریم.

مثال: برای مثال ۴xy و –xy با یکدیگر متشابه هستند، دلیلش هم واضح هست چون متغیر هردوشون xy می باشد.

ساده کرن عبارت جبری

برای ساده کردن یک عبارت طولانی با کلی متغیر، فقط کافیست یک جمله ای های متشابه رو از بین اونها جدا کنیم و عملیات جمع و منها و … روشون انجام میدیم.

مثال:مثال برای ساده کردن عبارات جبری

چند نکته درباره ی ساده کردن عبارت های جبری

چند نکته درباره ی ساده کردن عبارت های جبری

مثال: عبارت زیر را با توجه به تعریف جملات جبری متشابه ساده کنید.

مثال برای عبارات جبری

 

 

نکته: جاگذاری یعنی اینکه ما عددی را به جای متغیر قرار دهیم.

مثال: مقدار عددی عبارت زیر را با توجه به مقادیر داده شده برای متغیرها، به دست آورید.

مقدار عددی عبارت جبری

 

 

پس از ساده کردن عبارت، مقادیر بالا را جاگذاری می کنیم:

جواب مثال

 

مثال: محیط شکل زیر را به صورت عبارت جبری بنویسید و در صورت ساده شدن آن را ساده کنید.

جواب مثال

معادله

به یک تساوی جبری که در سمت دیگر عدد باشد معادله می گوییم.

تعریف معادله

هنگامی که مقدار عددی متغیر را پیدا کنیم و مثلا بگوییم x=4 معادله حل شده و ما راحت شدیم. در واقع با یافتن مقدار عددی متغیر، تساوی را برقرار کرده ایم.

حل معادله

برای حل معادله گام به گام مراحل زیر را انجام دهیم:

  1. ابتدا متغیرها و اعداد را از هم تفکیک میکنیم، به طوری که متغیرها را در یک سمت و اعداد را در سمت دیگر مساوی قرار می دهیم.
  2. دوطرف تساوی را با استفاده از عملیات ریاضی ساده تر می کنیم.
  3. دو طرف تساوی را بر ضریب مجهول تقسیم می کنیم و به این صورت متغیر به صورت تنها در یک سمت تساوی ظاهر می شود.

نکته: هنگام جا به جایی اعداد و متغیرها به سمت دیگر مساوی، حواسمون باشه که علامت آن قرینه خواهد شد.

نکته: جهت اطمینان از اینکه آیا مقدار متغیر را درست محاسبه کرده ایم، کافی ست جواب را در معادله جاگذاری کنیم.

مثال: معادله های زیر را حل کنید.

مثال برای معادله

 

 

*برای امتحان اینکه آیا راه حل ما درست بوده یا نه:

بررسی صحت جواب معادله

 

 

با جاگذاری عدد در رابطه ی بالا می بینیم که تساوی بالا برقرار است.

جواب مثال

 

 

 

مثال: اگر x=2 جواب معادله=۱۱ ۴x+a باشد، مقدار a را به دست آورید.

جواب مثال

 

 

کاربرد معادله

مجهول های مساله را باید تبدیل به متغیر کنیم و طبق اطلاعات مساله سعی کنیم یک معادله برای آن بنویسیم. حل مساله به همین خوشمزگی.

مثال: علی و کامران ۲۲ کت دوخته اند. علی ۸ کت بیشتر از کامران دوخته است. هر کدام از آنها چند کت دوخته اند؟

جواب مثال

 

 

 

 

مثال: اگر از ۷ برابر عددی، ۲۰ واحد کم کنیم، با سه برابر آن عدد برابر می شود. آن عدد چیست؟

تمام اطلاعات مساله را به صورت معادله ریاضی می نویسیم.

پاسخ مثال

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *