تعریف مشتق – پایه دوازدهم (۳)

زمان مطالعه: ۲ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله کوتاه قصد داریم تا با زبانی ساده به معرفی مشتق در ریاضیات بپردازیم. لازم به ذکر است که مشتق موضوعی مشترک در کتاب حسابان ۲ رشته ریاضی و کتاب ریاضی ۳ رشته تجربی است.

فهرست مطالب این نوشته

مشتق چیست؟

اگر بخواهیم تعریف ساده‌ای از مشتق ارائه بدیم، به معنای شیب مماس بر منحنی است. اصل پیدایش مشتق به هندسه باز می‌گردد. زمانی که می‌خواستند در یک نمودار ودر یک نقطه، خط مماس بر نمودار را بیابند.

به صورت کلی‌تر هرگاه بخواهیم سرعت تغییرات یک پارامتر را اندازه بگیریم از م‌شتق استفاده می‌کنیم. از اولین دانشمندانی که بر روی تنظیم مفهوم م‌شتق شروع به کار کرد، میتوان به پییر دو فرما (Pierre de Fermat) اشاره کرد.

گرچه این موضوع را نباید فراموش کرد که نیوتن نیز در قرن ۱۷ میلادی، با استفاده از شیوه استدلال سینماتیک و دیدگاه فیزیکی که داشت، شروع به بررسی م‌شتق کرد و از مشتق برای بدست آوردن سرعت لحظه‌ای استفاده می‌کرد. از م‌شتق و کاربرد آن در ریاضیات، فیزیک و بسیاری از رشته‌های دانشگاهی به وفور استفاده می‌شود. به علاوه دانش آموزانی که در رشته ریاضی و فیزیک تحصیل می‌کنند، با این مفهوم بسیار مانوس هستند.

فرمول های مشتق

اگر تابع y = f(x) وجود داشته باشد و x و x+h مقدار طول دو نقطه از این نمودار باشند، شیب خط واصل بین این دو نقطه به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\(m = \frac{\Delta f(x)}{\Delta x} = \frac{f(x+h) – f(x)}{h}\)

حال اگر دو نقطه x و x+h را مدام به یکدیگر نزدیک کنیم (یعنی حد h به سمت صفر میل کند)؛ عبارت بالا در نمای حدی، دیگر شیب بین دو نقطه از نمودار نیست، بلکه شیب خط مماس بر منحنی در نقطه x است:

\(f'(x) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(x+h)-f(x)}{h}\)

به این تابع بدست آمده که بیانگر ضریب زاویه خط مماس بر منحنی f(x) در نقطه x است، م‌شتق تابع در نقطه x می‌گویند. با توجه به این امر، مشتق نمودار f(x) در نقطه x=a برابر است با:

\(f'(a) = \lim_{h\rightarrow 0} \frac{f(a+h)-f(a)}{h}\)

یا

\(f'(a) = \lim_{x\rightarrow a} \frac{f(x)-f(a)}{x-a}\)

مشتق توابع مشهور

برای برخی توابع مشهور در ریاضیات، فرمول‌های مشتق محاسبه شده و بصورت یک الگوی آماده تدوین شده‌اند. بسیاری از دانش آموزان و دانشجویان، الگوهای مشتق‌گیری این توابع مشهور را به خاطر می‌سپارند تا سریع‌تر و راحتر محاسبات را انجام دهند.

برای مثال ‌م‌شتق توابع: نمایی، مثلثاتی، درجه ۲، درجه ۳ و…