با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیر وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده با مبحث سیستم جرم و فنر در فیزیک دوازدهم (۳) بپردازیم. این مقاله در ادامه مقاله (حرکت هماهنگ ساده) تدوین شده است و بیشتر به بررسی چند تمرین کتاب درسی در این خصوص می‌پردازد. به همین جهت پیشنهاد می‌کنیم تا ابتدا مروری بر مقاله مذکور داشته باشید.
فهرست مطالب این نوشته
سیستم جرم و فنر
همان طور که در مقاله (حرکت هماهنگ ساده) دیدیم، سیستم جرم و فنر ساده‌ترین مثالی است که برای حرکت هماهنگ ساده از آن استفاده می‌کنند. سیستم جرم و فنر یکی از مهم‌ترین مباحث فیزیک دوره متوسطه دوم محسوب می‌شود که از آن سوالات زیادی در آزمون سراسری (کنکور) و امتحانات پایان‌ترم مطرح می‌شود.
در شکل زیر، سیستم جرم و فنر (بدون اصطکاک) نشان داده شده است:
سیستم جرم و فنر
حال با استفاده از روابطی که در حرکت هماهنگ ساده فرا گرفتیم به بررسی چند مثال می‌پردازیم:
مثال ۱-۳ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)
سیستم جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید. این سیستم با فرکانس ۰.۲Hz و دامنه ۳cm در راستای عمود، حرکت هماهنگ ساده (نوسان) انجام می‌دهد.
سامانه جرم و فنر
پس از گذشت ۱۰.۶۶s از رها شدن جرم در بالای نقطه تعادل، مقدار جا‌به‌جایی این جرم نسبت به نقطه تعادل چقدر است؟
پاسخ: با استفاده از معادله مکان زمان در حرکت هماهنگ ساده می‌توانیم جا‌به‌جایی نسبت به نقطه تعادل سیستم جرم و فنر را محاسبه کنیم.
\(A = 0.03m\:\:,\:\: \omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.2 s^{-1})=0.4\pi \: rad/s\:\:,\:\: t = 10.66s \\ x = A cos \omega t = 0.03 \cos (0.4\pi \times 10.66s) = 0.02m\)
توجه داشته باشید که نقطه x=0 نقطه تعادل است. این نکته در شکل نیز مشخص است.
تمرین ۳-۱ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)
ذره‌ای در حال نوسان هماهنگ ساده با دوره تناوب T است. با فرض اینکه در زمان t=0s، ذره در x=+A باشد، تعیین کنید در هر یک از لحظات زیر، آیا ذره در x=-A، در x=+A یا در x=0 خواهد بود یا خیر؟
الف) t=2T
\(x = A \cos(\omega t) = A \cos(2 \pi f t) = A \cos (\frac{2 \pi}{T} t)\)
\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 2T) = A \cos(4\pi)=A\)
ب) t=3.5T
\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 3.5T) = A \cos(7\pi)= -A\)
پ) t=2.25T
\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 5.25T) = A \cos(10.5\pi)= 0\)
تمرین ۳-۲ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)
در حرکت هماهنگ ساده مثل حرکت سیستم جرم و فنر، مکان x(t) باید پس از گذشت یک دوره تناوب برابر با مقدار اولیه‌اش شود. یعنی اگر x(t) مکان در زمان دلخواه t باشد، آنگاه نوسانگر باید در زمان t+T دوباره به همان مکان بازگردد و بنابراین:
\(A \cos\omega t = A \cos \omega (t+T)\)
بر این اساس نشان دهید که: \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\)
پاسخ: یک سیستم جرم و فنر را در نظر بگیرید که آن را از نقطه تعادل x=0 می‌کشیم تا در حداکثر مقدار کشش خودش قرار بگیرد، منظورمان همان مقدار دامنه است. پس در لحظه t=0s نوسانگر (سیستم جرم و فنر) در مکان A است. پس نقطه اول به صورت زیر است:
\(x = A \cos (\omega t) \rightarrow x_{1} = A \cos (\omega \times 0) = + A\)
پس در لحظه t=T نیز نقطه دوم را می‌نویسیم:
\(x = A \cos (\omega t) \rightarrow x_{2} = A \cos (\omega T)\)
پس از گذشت یک دوره تناوب T، مکان نوسانگر، با توجه به متن سوال در همان نقطه باشد. از تساوی دو نقطه خواهیم داشت:
\(x_{1} = x_{2} \Rightarrow A = A \cos (\omega T)\)
\(۱ = cos(\omega T) \Rightarrow \omega T = 2 \pi \rightarrow \omega = \frac{2 \pi}{T}\)
تغییر جرم و سختی فنر
به نظر شما در سیستم جرم و فنر اگر جرم را زیاد یا کم کنیم و یا اینکه فنر را تغییر دهیم، چه اتفاقی برای حرکت نوسانی رخ می‌دهد؟
محاسبات و آزمایشات مختلف نشان می‌دهند که با افزایش جرم متصل به فنر (فنر با سختی ثابت k)، منجر به کند شدن نوسان می‌شود. به عبارت دیگر دوره تناوب T طولانی‌تر می‌شود. پس دوره تناوب سامانه یا سیستم جرم و فنر به صورت زیر نتیجه می‌شود:
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)
همچنین آزمایشات مختلف نشان می‌دهند که اگر جرم را ثابت نگه‌داریم ولی فنر را تغییر دهیم، یعنی سختی فنر را تغییر دهیم (k متفاوت)، نتیجه می‌شود که با افزایش k فنر، دوره تناوب نوسان‌ها کوتاه‌تر می‌شود. کوتاه شدن دوره تناوب به معنی افزایش فرکانس است. این امر به صورت ریاضی به شکل زیر است:
\(\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}\)
لازم به ذکر است که واحد یا یکای سختی فنر، با توجه به رابطه یا قانون هوک F=kx، نیوتن بر متر است.
مثال ۳-۲ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)
قطعه‌ای به جرم ۶۸۰gr به فنری با سختی \(k = 65\: \frac{N}{m}\) متصل است. قطعه را به اندازه مشخصی از مکان تعادل خود، روی یک سطح افقی بدون اصطکاک می‌کشیم و از حالت سکون رها می‌کنیم. دوره تناوب و فرکانس زاویه‌ای این نوسان چقدر است؟
پاسخ:
\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.68kg}{65N/m}} = 0.64s\)
\(\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{65N/m}{0.68kg}} = 9.8\: rad/s\)
مسئله ۳ از فصل ۳ (ریاضی) | مسئله ۲ فصل ۳ (تجربی)
یک سیستم جرم و فنر را در نظر بگیرید. اگر جرم m به فنری با سختی k متصل شود، با دوره تناوب T=2s نوسان می‌کند. حال اگر جرم را ۲kg افزایش دهیم، دوره تناوب T=3s می‌شود. مقدار m چقدر است؟
\(T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \\ T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 3\)
\(T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \rightarrow k = m \pi^{2} \\ T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 3 \rightarrow 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{m \pi^{2}}} = 3 \\ \Rightarrow m = \frac{8}{5}=1.6kg\)
را حل ساده‌تر استفاده از رابطه \(\frac{T_{2}}{T_{1}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}\) است که خود نیز از رابطه \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) اثبات می‌شود.
امیدواریم تا این مقاله برای شما عزیزان مفید واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.
ساختار هسته اتم – فیزیک دوازدهم (۳)
سلف یا القاگر – فیزیک یازدهم (۲)
دیدگاهتان را بنویسید