زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیر وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده با مبحث سیستم جرم و فنر در فیزیک دوازدهم (۳) بپردازیم. این مقاله در ادامه مقاله (حرکت هماهنگ ساده) تدوین شده است و بیشتر به بررسی چند تمرین کتاب درسی در این خصوص می‌پردازد. به همین جهت پیشنهاد می‌کنیم تا ابتدا مروری بر مقاله مذکور داشته باشید.

سیستم جرم و فنر

همان‌ طور که در مقاله (حرکت هماهنگ ساده) دیدیم، سیستم جرم و فنر ساده‌ترین مثالی است که برای حرکت هماهنگ ساده از آن استفاده می‌کنند. سیستم جرم و فنر یکی از مهم‌ترین مباحث فیزیک دوره متوسطه دوم محسوب می‌شود که از آن سوالات زیادی در آزمون سراسری (کنکور) و امتحانات پایان‌ترم مطرح می‌شود.

در شکل زیر، سیستم جرم و فنر (بدون اصطکاک) نشان داده شده است:

سامانه جرم و فنر
سیستم جرم و فنر

حال با استفاده از روابطی که در حرکت هماهنگ ساده فرا گرفتیم به بررسی چند مثال می‌پردازیم:

مثال ۱-۳ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)

سیستم جرم و فنر زیر را در نظر بگیرید. این سیستم با فرکانس ۰.۲Hz و دامنه ۳cm در راستای عمود، حرکت هماهنگ ساده (نوسان) انجام می‌دهد.

جرم و فنر
سامانه جرم و فنر

پس از گذشت ۱۰.۶۶s از رها شدن جرم در بالای نقطه تعادل، مقدار جا‌به‌جایی این جرم نسبت به نقطه تعادل چقدر است؟

پاسخ‌: با استفاده از معادله مکان زمان در حرکت هماهنگ ساده می‌توانیم جا‌به‌جایی نسبت به نقطه تعادل سیستم جرم و فنر را محاسبه کنیم.

\(A = 0.03m\:\:,\:\: \omega = 2 \pi f = 2 \pi (0.2 s^{-1})=0.4\pi \: rad/s\:\:,\:\: t = 10.66s \\ x = A cos \omega t = 0.03 \cos (0.4\pi \times 10.66s) = 0.02m\)

توجه داشته باشید که نقطه x=0 نقطه تعادل است. این نکته در شکل نیز مشخص است.

تمرین ۳-۱ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)

ذره‌ای در حال نوسان هماهنگ ساده با دوره تناوب T است. با فرض اینکه در زمان t=0s، ذره در x=+A باشد، تعیین کنید در هر یک از لحظات زیر، آیا ذره در x=-A، در x=+A یا در x=0 خواهد بود یا خیر؟

الف) t=2T

\(x = A \cos(\omega t) = A \cos(2 \pi f t) = A \cos (\frac{2 \pi}{T} t)\)

\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 2T) = A \cos(4\pi)=A\)

ب) t=3.5T

\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 3.5T) = A \cos(7\pi)= -A\)

پ) t=2.25T

\(x = A \cos (\frac{2 \pi}{T} 5.25T) = A \cos(10.5\pi)= 0\)

تمرین ۳-۲ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)

در حرکت هماهنگ ساده مثل حرکت سیستم جرم و فنر‌، مکان x(t) باید پس از گذشت یک دوره تناوب برابر با مقدار اولیه‌اش شود. یعنی اگر x(t) مکان در زمان دلخواه t باشد، آنگاه نوسانگر باید در زمان t+T دوباره به همان مکان بازگردد و بنابراین:

\(A \cos\omega t = A \cos \omega (t+T)\)

بر این اساس نشان دهید که: \(\omega = \frac{2 \pi}{T}\)

پاسخ: یک سیستم جرم و فنر را در نظر بگیرید که آن را از نقطه تعادل x=0 می‌کشیم تا در حداکثر مقدار کشش خودش قرار بگیرد، منظورمان همان مقدار دامنه است. پس در لحظه t=0s نوسانگر (سیستم جرم و فنر) در مکان A است. پس نقطه اول به صورت زیر است:

\(x = A \cos (\omega t) \rightarrow x_{1} = A \cos (\omega \times 0) = + A\)

پس در لحظه t=T نیز نقطه دوم را می‌نویسیم:

\(x = A \cos (\omega t) \rightarrow x_{2} = A \cos (\omega T)\)

پس از گذشت یک دوره تناوب T، مکان نوسانگر، با توجه به متن سوال در همان نقطه باشد. از تساوی دو نقطه خواهیم داشت:

\(x_{1} = x_{2} \Rightarrow A = A \cos (\omega T)\)

\(۱ = cos(\omega T) \Rightarrow \omega T = 2 \pi \rightarrow \omega = \frac{2 \pi}{T}\)

تغییر جرم و سختی فنر

به نظر شما در سیستم جرم و فنر اگر جرم را زیاد یا کم کنیم و یا اینکه فنر را تغییر دهیم، چه اتفاقی برای حرکت نوسانی رخ می‌دهد؟

سختی فنر

محاسبات و آزمایشات مختلف نشان می‌دهند که با افزایش جرم متصل به فنر (فنر با سختی ثابت k)، منجر به کند شدن نوسان می‌شود. به عبارت دیگر دوره تناوب T طولانی‌تر می‌شود. پس دوره تناوب سامانه یا سیستم جرم و فنر به صورت زیر نتیجه می‌شود:

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\)

همچنین آزمایشات مختلف نشان می‌دهند که اگر جرم را ثابت نگه‌داریم ولی فنر را تغییر دهیم، یعنی سختی فنر را تغییر دهیم (k متفاوت)، نتیجه می‌شود که با افزایش k فنر، دوره تناوب نوسان‌ها کوتاه‌تر می‌شود. کوتاه شدن دوره تناوب به معنی افزایش فرکانس است. این امر به صورت ریاضی به شکل زیر است:

\(\omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}}\)

لازم به ذکر است که واحد یا یکای سختی فنر، با توجه به رابطه یا قانون هوک F=kx، نیوتن بر متر است.

مثال ۳-۲ فیزیک دوازدهم (ریاضی و تجربی)

قطعه‌ای به جرم ۶۸۰gr به فنری با سختی \(k = 65\: \frac{N}{m}\) متصل است. قطعه را به اندازه مشخصی از مکان تعادل خود، روی یک سطح افقی بدون اصطکاک می‌کشیم و از حالت سکون رها می‌کنیم. دوره تناوب و فرکانس زاویه‌ای این نوسان چقدر است؟

پاسخ: 

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \pi \sqrt{\frac{0.68kg}{65N/m}} = 0.64s\)

\(\omega = \frac{2 \pi}{T} = \sqrt{\frac{k}{m}} = \sqrt{\frac{65N/m}{0.68kg}} = 9.8\: rad/s\)

مسئله ۳ از فصل ۳ (ریاضی) | مسئله ۲ فصل ۳ (تجربی)

یک سیستم جرم و فنر را در نظر بگیرید. اگر جرم m به فنری با سختی k متصل شود، با دوره تناوب T=2s نوسان می‌کند. حال اگر جرم را ۲kg افزایش دهیم، دوره تناوب T=3s می‌شود. مقدار m چقدر است؟

\(T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \\ T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 3\)

\(T_{1} = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}} = 2 \rightarrow k = m \pi^{2} \\ T_{2} = 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{k}} = 3 \rightarrow 2 \pi \sqrt{\frac{m+2}{m \pi^{2}}} = 3 \\ \Rightarrow m = \frac{8}{5}=1.6kg\)

را حل ساده‌تر استفاده از رابطه \(\frac{T_{2}}{T_{1}}=\sqrt{\frac{m_{2}}{m_{1}}}\) است که خود نیز از رابطه \(T = 2 \pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) اثبات می‌شود.

معرفی دوره آموزشی نوسان (حرکت هماهنگ ساده)

امیدواریم تا مقاله حرکت نوسانی مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا اگر علاقه‌مند به یادگیری کامل مبحث نوسان، نگاهی بر این دوره از کانال فیزیک پلاس بین جو داشته باشید. این دوره در مدت زمان ۲ ساعت و ۴۸ دقیقه برای شما عزیزان، جهت تدریس تمامی نکات درسی تدوین شده است. لینک این آموزش با تخفیف ویژه ۲۰٪ در زیر آمده است:

حرکت نوسانی

امیدواریم تا این مقاله برای شما عزیزان مفید واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ساختار هسته اتم – فیزیک دوازدهم (۳)

سلف یا القاگر – فیزیک یازدهم (۲)

جریان متناوب – فیزیک دوازدهم (۳)

خطوط میدان الکتریکی – فیزیک یازدهم (۲)

میانگین امتیازات ۵ از ۵