با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث بسیار مهم حرکت با شتاب ثابت در کتاب فیزیک ۳ پایه دوازدهم بپردازیم. مبحث حرکت با شتاب ثابت، موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است.
فهرست مطالب این نوشته
حرکت با سرعت ثابت
قبل از اینکه به بحث حرکت شتاب ثابت بپردازیم، مروری بر حرکت سرعت ثابت می‌کنیم. معادله مکان زمان در حرکت سرعت ثابت به صورت زیر است:
\(x = vt + x_{0}\)
مشاهده می‌کنید که معادله فوق، از حیث ریاضی، چیزی جز معادله خط نیست. پس در رابطه فوق، v شیب خط و \(x_{0}\) عرض از مبدا است. از حیث فیزیک نیز، شیب خط در نمودار مکان زمان، سرعت حرکت (ثابت) و \(x_{0}\) مکان اولیه در لحظه t=0 است. به طور مثال نمودار مکان زمان یک حرکت سرعت ثابت نوعی به شکل زیر است.
شکل (۱) : نمایی از نمودار یک حرکت سرعت ثابت نوعی. در این نمودار شیب خط برابر با سرعت ثابت حرکت جسم است.
با توجه به مطالب فوق، نمودار سرعت زمان حرکت با سرعت ثابت، چیزی نیست جز یک خط موازی با محور زمان. توجه داشته باشید که سرعت متوسط در حرکت با سرعت ثابت در همه بازه‌های زمانی یکسان و برابر با سرعت لحظه‌ای است.
حرکت با شتاب ثابت
حال به نمودار سرعت زمان زیر که نمودار یک خط است، توجه کنید.
شگل (۲) : نمودار سرعت زمان حرکت با شتاب ثابت. در این نمودار شیب خط برابر با شتاب ثابت حرکت جسم است.
همان‌طور که مشاهده می‌کنید، سرعت متحرک با زمان به صورت خطی تغییر می‌کند. پس شیب این نمودار ثابت است. با توجه به نمودار و تعریف شتاب متوسط، ، مشاهده می‌شود که شتاب متوسط در چنین حرکتی در بازه‌های زمانی مختلف، یکسان و برابر با شتاب لحظه‌ای است.
با توجه به نمودار شکل (۲)، می‌توانیم معادله ریاضی آن را بنویسیم. این رابطه، معادله سرعت زمان در حرکت با شتاب ثابت است. یعنی:
\(v = a t + v_{0}\)
به طور کلی، هرگاه شتاب یک متحرک در لحظه یا زمان‌های مختلف، یکسان باشد، حرکت جسم را حرکت با شتاب ثابت می‌نامیم. در زندگی روزانه ممکن است با تعداد زیادی از انواع حرکت با شتاب ثابت ممکن است که مواجه باشیم. به طور مثال سقوط یک جسم یا غلطیدن یک جسم در سراشیبی حرکت با شتاب ثابت هستند.
از آنجایی که شتاب در این نوع حرکت ثابت است، نمودار شتاب زمان چنین حرکتی چیزی جز خط صاف موازی با محور زمان نیست.
شکل (۳) : نمودار شتاب زمان برای حرکت با شتاب ثابت
با توجه به معادله سرعت زمان حرکت با شتاب ثابت، مشاهده می‌شود که تغییرات سرعت v نسبت به زمان t به صورت خطی است. به همین جهت، سرعت متوسط متحرک در بازه زمانی ۰ تا t، با میانگین سرعت در دو لحظه t=0 و t برابر است. یعنی:
\(v_{av} = \frac{v + v_{0}}{2}\)
معادله مکان زمان حرکت با شتاب ثابت
برای به دست آوردن معادله مکان زمان حرکت با شتاب ثابت، از معادله سرعت زمان استفاده می‌کنیم.
\(v = a t + v_{0}\)
با اضافه کردن \(v_{0}\) به طرفین معادله فوق و ضرب آن (کل معادل) در \(\frac{1}{2}\) خواهیم داشت:
\(\frac{v + v_{0}}{2} = v_{0} + \frac{1}{2}at\)
سمت چپ معادله فوق، برابر با سرعت متوسط است. حال فرض می‌کنیم که مکان جسم در لحظه t=0 در \(x_{0}\) باشد. حال با استفاده از رابطه سرعت ثابت \(x = v_{av}t + x_{0}\) داریم:
\(x = v_{av}t + x_{0} \rightarrow x = (v_{0} + \frac{1}{2}at) t+ x_{0}\)
\(x = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0}t + x_{0}\)
رابطه به دست آمده از محاسبات فوق، معادله مکان زمان حرکت با شتاب ثابت است. مشاهده می‌کنید که معادله فوق، از حیث ریاضی یک تابع درجه دوم است که نمودار آن سهمی شکل است. در زیر نمودار مکان زمان برای حرکت با شتاب ثابت، برای چند حالت مختلف رسم شده است.
معادله سرعت جا به جایی در حرکت شتاب ثابت
در برخی از مسائل، ممکن است که ما اطلاعاتی از زمان t نداشته باشیم. به همین جهت در بررسی حرکت جسم در چنین مسائلی می‌توان از معادله سرعت – جابهجایی جهت محاسبه پارامترهای جابهجایی ، سرعت اولیه ، سرعت v و یا شتاب ثابت a استفاده کرد.
این معادله به روند زیر اثبات می‌شود:
\(x = v_{av} t + x_{0}\)
\(x = (\frac{v + v_{0}}{2}) t + x_{0}\)
\(v = a t + v_{0} \rightarrow t = \frac{v – v_{0}}{a}\)
\(\Rightarrow x = (\frac{v + v_{0}}{2})(\frac{v – v_{0}}{a}) – x_{0}\)
\(\Rightarrow v^{2} – v_{0}^{2} = 2 a \Delta x\)
رابطه فوق برای بازه زمانی صفر تا t به دست آمد. اما از این رابطه می‌توان برای هر بازه زمانی دلخواه \(t_{1}\) تا \(t_{2}\) استفاده کرد. در این صورت \(x_{1}\) و \(v_{1}\) متناظر با \(t_{1}\) و \(x_{2}\) و \(v_{2}\) متناظر با لحظه \(t_{2}\) است.
به طور خلاصه، فرمول‌های حرکت با شتاب ثابت به صورت زیر است:
\(x = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0}t + x_{0}\)
\(v = a t + v_{0}\)
\(\Rightarrow v^{2} – v_{0}^{2} = 2 a \Delta x\)
\(x = v_{av} t + x_{0}\)
\(v_{av} = \frac{v + v_{0}}{2}\)
اگر مشتق بلد هستید !
یک راه ساده برای به دست آوردن معادله‌های سینماتیکی از روی یکدیگر استفاده از تکنیک‌های ریاضی مشتق و انتگرال است. از آنجایی که شیب خط رابطه نزدیکی با مفهوم مشتق دارد، با مشتق گرفتن از معادله مکان زمان به راحتی به معادله سرعت زمان می‌رسیم. همچنین با مشتق گرفتن از معادله سرعت زمان به معادله شتاب زمان رسیده که در حرکت با با شتاب ثابت، عددی ثابت است. پس شتاب لحظه‌ای، مشتق سرعت نسبت به زمان و مشتق مرتبه دوم مکان نسبت به زمان است.
\(v = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} \\ v = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[\frac{1}{2}at^2 + v_{0}t + x_{0}] = a t + v_{0}\)
\(a = \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}=\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} \\ a = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}[a t + v_{0}] = a\)
عکس این روند نیز یعنی رسیدن به معادله سرعت از معادله شتاب و رسیدن به معادله مکان از معادله سرعت با انتگرال قابل حصول است. بحث انتگرال خارج از مباحث دوره متوسطه دوم است، اما در این حد بدانید که مفهوم آن با سطح زیر نمودار در ارتباط است. عمل انتگرال عکس عمل مشتق است. مساحت سطح زیر نمودار سرعت زمان، مقدار جابهجایی و سطح زیر نمودار شتاب زمان، مقدار سرعت را نتیجه می‌دهد.
\(v = at \rightarrow \mathrm{d}v = a \mathrm{d}t \rightarrow \int \mathrm{d}v = \int a \mathrm{d}t \\ \Rightarrow v = at + v_{0}\)
\(x = vt \rightarrow \mathrm{d}x = (at + v_{0}) \mathrm{d}t \rightarrow \int \mathrm{d}x = \int (at + v_{0}) \mathrm{d}t \\ \Rightarrow x = \frac{1}{2}a t^2 + v_{0}t + x_{0}\)
همان‌طور که می‌دانید واحد استاندارد در سیستم SI برای سرعت متر بر ثانیه است. با این حال در برخی از مسائل ممکن است که سرعت جسم نظیر ماشین‌ها بر حسب کیلومتر بر ساعت عنوان شوند. به راحتی با ضرب سرعت داده شده بر حسب کیلومتر بر ساعت، در عدد \(\frac{5}{18}\) آن را به متر به ثانیه تبدیل کنید.
\(۱\: \frac{km}{hr} = \frac{1000\: m}{3600\: s} = \frac{5}{180}\: \frac{m}{s}\)
امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر سایر مقالات حوزه فیزیک نیز داشته باشید.
سلف یا القاگر – فیزیک یازدهم (۲)
دیدگاهتان را بنویسید