انرژی در حرکت هماهنگ ساده

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)،‌ در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به بحث انرژی در حرکت هماهنگ ساده در کتاب فیزیک ۳ پایه یازدهم بپردازیم. مبحث انرژی در حرکت هماهنگ ساده‌، موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید.

در کتاب فیزیک دوازدهم (۳) جدید، متاسفانه بسیاری از عناوین که برای درک بهتر فیزیک و مفهوم یک درس ضروروی است، حذف شده است. از آنجایی که این مطالب به شما کمک می‌کند که درک بهتری از فیزیک مسئله داشته باشید، به زبانی بسیار ساده، تمامی مقدمات مورد نیاز برای بحث انرژی در حرکت هماهنگ ساده در اینجا بیان می‌شوند.

انرژی پتانسیل کشسانی

شکل زیر یک سامانه جرم و فنر را نشان می‌دهد. با سامانه جرم و فنر در مقاله (جرم و فنر – فیزیک دوازدهم – ۳) آشنا شدیم.

جرم و فنر

سیستم جرم و فنر و انرژی در حرکت هماهنگ ساده

حرکت سامانه یا سیستم فوق، مثالی از یک حرکت هماهنگ ساده است که با این حرکت در مقاله (حرکت هماهنگ ساده‌) آشنا شدیم. برای اینکه فنر از حالت تعادل خودش خارج شده و حرکت کند نیازمند انرژی است. هنگامی که ما یک فنر را می‌کشیم یا آن را می‌فشاریم، در آن انرژی ذخیره می‌شود که این انرژی به انرژی پتانسیل کشسانی موسوم است.

بدیهی است که با افزایش جابه‌جایی از نقطعه تعادل، مقدار انرژی پتانسیل کشسانی بیشتر می‌شود. منظور از نقطه تعادل سیستم جرم و فنر، مکانی است که که فنر نه کشیده شده است و نه فشرده. انرژی پتانسیل کشسانی مطابق با رابطه زیر محاسبه می‌شود:

\(U = \frac{1}{2} k x^{2}\)

در رابطه فوق، k میزان سختی فنر و x مقدار جا‌به‌جایی از نقطه تعادل فنر است. با توجه به این رابطه، مقدار انرژی پتانسیل کشسانی در نقاط بازگشتی (جایی که جهت حرکت برعکس می‌شود) یعنی نقاط \(x = \pm A\)، بیشینه و در نقطه تعادل x=0 برابر با صفر است. نقاط  همان دامنه حرکت نوسانی هستند که معادله آن به فرم  است.

همان‌طور که عنوان کردیم در معادله انرژی پتانسیل کشسانی، x مقدار جابه‌جایی بوده که در واقع همان معادله مکان زمان در حرکت نوسانی ساده است.

\(x = A \cos( \omega t)\)

k نیز مقدار سختی فنر است که در مقاله (جرم و فنر) دیدیم به صورت زیر با جرم جسم و فرکانس نوسان (فرکانس زاویه‌ای) ارتباط دارد.

\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}} \Rightarrow k = m \omega^{2}\)

با جایگذاری این دو معادله، در معادله انرژی پتانسیل کشسانی خواهیم داشت:

\(U = \frac{1}{2} k x^{2}\)

\(\rightarrow U = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \cos^{2}(\omega t)\)

انرژی جنبشی

هر جرمی که دارای حرکت است دارای سرعت بوده و در نتیجه دارای انرژی جبنشی است. برای یک جرم متصل به فنر که حرکت نوسانی انجام می‌دهد نیز این امر صادق است. همان‌طور که می‌دانید مقدار انرژی جبنشی با رابطه ساده زیر محاسبه می‌شود.

\(K = \frac{1}{2} m v^{2}\)

در رابطه فوق، m جرم جسم و v سرعت آن است. از آنجایی که در حرکت هماهنگ ساده (حرکت نوسانی ساده)، با افزایش جا‌به‌جایی از نقطه تعادل، سرعت جسم کاهش پیدا می‌کند، به دنبال آن مقدار انرژی جنبشی سیستم نیز کم می‌شود.

در واقع در نقاط بازگشتی، یعنی جایی که جهت حرکت جسم عوض می‌شود، سرعت صفر و نتیجه انرژی جبنشی جسم نیز صفر است. همچنین هنگام گذر از نقطه تعادل، سرعت جسم متصل به فنر بیشینه بوده که به دنبال آن انرژی جنبشی نیز بیشینه است.

در حرکت با شتاب ثابت، عنوان کردیم که اگر با مفهوم مشتق آشنا هستید، با گرفتن مشتق معادله مکان (x) نسبت به زمان (t) می‌توان به معادله سرعت زمان رسید. پس معادله سرعت زمان سیستم جرم و فنر به فرم زیر است:

\(v = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} t}[A \cos(\omega t)]\)

\(\rightarrow v = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t} = – A \sin (\omega t)\)

\(\Rightarrow K = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} m \omega^2 A^{2} \sin^{2} (\omega t)\)

نکته: توجه داشته باشید که عموم مراجع معادله حرکت (مکان – زمان) نوسانگری که حرکت هماهنگ ساده انجام می‌دهد را به صورت \(x = A \sin(\omega t)\) در نظر می‌گیرند. که در این صورت معادله سرعت زمان به فرم \(v = A \omega \cos(\omega t)\) در می‌آید. در اینجا ما به دنبال کتاب فیزیک ۳ فرم کسینوسی را برای معادله مکان زمان در نظر گرفتیم.

انرژی در حرکت هماهنگ ساده

حال به سراغ انرژی مکانیکی می‌رویم. یعنی جمع انرژی پتانسیل (در اینجا از نوع کشسانی) و انرژی جبنشی:

\(E = K + U\)

از آنجایی که سطحی که جسم رو آن قرار دارد را بدون اصطکاک در نظر می‌گیریم، انرژی مکانیکی پایسته می‌ماند. پایسته ماندن انرژی مکانیکی به این معنی است که مجموع انرژی پتانسیل کشسانی و انرژی جبنشی در تمامی نقاط مسیر (نقاط بازگشتی، گذر از نقطه تعادل و هر نقطه دلخواه) با یکدیگر برابر است.

منظور از جمله فوق این است که مقدار انرژی مکانیکی باید در همه جا ثابت باشد. مثلاً اگر در نقاط بازگشتی انرژی پتانسیل کشسانی بیشینه است، مقدار انرژی جبنشی باید صفر باشد که این امر از معادلات مطرح شده نیز ثابت می‌شود. یا اگر به هنگام گذر از نقطه تعادل، انرژی جبنشی بیشینه است، مقدار انرژی پتانسیل صفر است.

تغییرات انرژی جبنشی و پتانسیل کشسانی در همه‌جای مسیر حرکت هماهنگ ساده به گونه‌ای است که همیشه جمع‌شان برابر با مقدار ثابتی می‌شود که این مقدار ثابت همان انرژی کل یا انرژی مکانیکی است. این تغییرات را می‌توان در شکل زیر نشان داد:

انرژی در حرکت هماهنگ ساده

نمودار انرژی در حرکت هماهنگ ساده

 

از شکل فوق مشخص است که جمع دو تابع انرژی جبنشی و پتانسیل کشسانی همواره مقدار ثابت E است. انرژی در حرکت هماهنگ ساده‌، به عبارتی انرژی مکانیکی سامانه جرم و فنر در حرکت نوسانی ساده به صورت زیر است:

\(E = \frac{1}{2} k A^{2}\)

در رابطه فوق، k ثابت فنر (سختی فنر) و A دامنه نوسان است. حال اجازه دهید تا رابطه فوق را اثبات کنیم. این اثبات بسیار ساده بوده و تنها کافی است دو معادله انرژی جبنشی و انرژی پتانسیل کشسانی را با یکدیگر جمع کنیم.

\(\rightarrow U = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \cos^{2}(\omega t)\)

\(K = \frac{1}{2} m \omega^2 A^{2} \sin^{2} (\omega t)\)

\(E = K + U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^{2} \sin^{2} (\omega t) + \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} \cos^{2}(\omega t)\)

\(E = K + U = \frac{1}{2} m \omega^2 A^{2} [\sin^{2} (\omega t) + \cos^{2}(\omega t)]\)

با توجه رابطه طلایی مثلثات داریم:

\(sin^2{x} + cos^2{x} = 1 \Rightarrow E = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2}\)

با توجه با رابطه \(k = m \omega^{2}\) خواهیم داشت:

\(E = \frac{1}{2} k A^{2}\)

در اینجا پایستگی انرژی مکانیکی و تبدیل انرژی جبنشی و پتانسیل به یکدیگر رو برای نوسانگر جرم و فنر بررسی کردیم. می‌توان نشان داد که این مفاهیم برای هرگونه نوسانگری که حرکت هماهنک ساده انجام می‌دهد، نظیر آونگ برقرار است. به طور کلی برای هر نوسانگر هماهنگ ساده، انرژی مکانیکی متناسب با مربع دامنه و مربع فرکانس (\(\omega = 2 \pi f\)) است.

\(E = \frac{1}{2} k A^{2} = \frac{1}{2} m \omega^{2} A^{2} = 2 \pi^{2} m f^{2} A^{2}\)

امیدواریم تا مقاله انرژی در حرکت هماهنگ ساده مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ساختار هسته اتم – فیزیک دوازدهم (۳)

جریان متناوب – فیزیک یازدهم (۲)

القای الکترومغناطیسی – فیزیک یازدهم (۲)

پرتوزایی یا رادیواکتیویته – فیزیک دوازدهم (۳)

طیف الکترومغناطیسی – فیزیک دوازدهم (۳)

 

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *