زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم با زبانی ساده به مبحث آونگ ساده از کتاب فیزیک دوازدهم (۳) بپردازیم. آونگ ساده موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید.

آونگ ساده

آونگ ساده وزنه‌ای کوچک به جرم m (عموماً گوی شکل) است که یک نخ یا طنابی سبک از نقطه آویزان شده است. با توجه به این تعریف، در حالت تعادل، آونگ در امتداد قائم قرار می‌گیرد. لازم به ذکر است که نخ یا طناب مذکور کش‌نیامدنی است و طول آن همواره ثابت.

آونگ ساده
شکل (۱) : آونگ ساده در حالت تعادل

عبارت نخ یا طناب سبک به این دلیل عنوان شد که عموماً در تحلیل حرکت آونگ ساده و مسائل مربوط به آن از وزن نخ یا طناب صرف نظر می‌کنند.

اگر آونگ یا همان جرم متصل به نخ را از حالت تعادل همانند شکل زیر خارج کنیم و سپس آن را رها کنیم، حول وضعیت یا نقطه تعادلش حرکت نوسانی انجام می‌دهد. در نوسان یک آونگ‌، نیروی بازگرداننده، مولفه‌ی نیروی وزن جسم در راستای مماس بر مسیر حرکت است.

زاویه انحراف در آونگ ساده
شکل (۲) : در صورتی که زاویه انحراف کوچک باشد، حرکت آونگ ساده، از نوع حرکت نوسانی (هماهنگ) ساده است.

لازم به ذکر است که اگر زاویه انحراف از حالت تعادل، یعنی زاوبه تتا در شکل (۲) کوچک باشد، می‌توان مسیر حرکت وزنه (آونگ) را تقریباً یک خط افقی در نظر گرفت. به عبارت دیگر، مسیر حرکت آونگ را در این حالت می‌توان همانند مسیر حرکت وزنه متصل به فنر (سیستم جرم و فنر)، یعنی حرکت هماهنگ ساده با دامنه کم (حرکت نوسانی با دامنه کم) در نظر گرفت.

حرکت آونگ ساده
شکل (۳) : حرکت نوسانی ساده در آونگ ساده کم دامنه

از آنجایی که حرکت آونگ ساده در صورتی که زاویه انحراف کوچک باشد، حرکت نوسانی ساده است، می‌توانیم برای آن دوره تناوب و فرکانس تعریف کنیم. دوره تناوب و فرکانس حرکت هماهنگ ساده یک آونگ ساده‌، به شتاب گرانش زمین (g) و طول آونگ L (طول نخ یا طناب) بستگی دارد. دوره تناوب آونگ ساده به شکل زیر است:

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} }\)

\(\omega = 2 \pi f = \frac{ 2 \pi }{T} = \sqrt{ \frac{g}{L} }\)

همان‌طور که مشاهده می‌فرمایید، دوره تناوب و فرکانس به جرم وزنه (گوی) و دامنه نوسان بستگی ندارد.

مثال

بستگی دوره تناوب حرکت آونگ به شتاب گرانشی، روشی دقیق برای مقدار g (شتاب گرانشی) است. در این روش با اندازه‌گیری طول L آونگ و دوره تناوب T آن، می‌توان با استفاده از رابطه‌ای که در فوق مطرح کردیم، مقدار g را تعیین کرد.

حال فرض کنید که یک آونگ ساده در اختیار دارید که در مکانی که شما آزمایش را انجام می‌دهید، ۷۲ نوسان کامل را در یک دقیقه انجام می‌دهد. اگر طول نخ آونگ ۰.۱۷۱m باشد، مقدار g را به دست آورید.

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \rightarrow T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{L}{g}\)

\(T = \frac{Time}{Number \: of \: Oscillation} = \frac{60\: s}{72} = 0.833\: s\)

\(g = \frac{4 \pi^{2} L}{T^{2}} \approx 9.73\: \frac{m}{s^{2}}\)

مثال

فرکانس و دوره تناوب حرکت نوسانی کم دامنه‌ یک آونگ ساده که طول نخ آن ۴۰cm است، چه مقدار است؟ (\(g = 10\: \frac{m}{s^{2}}\))

پاسخ)

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} }\)

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{0.4}{10} } \cong 1.25\: s\)

\(f = \frac{1}{T} = 0.8\: Hz\)

مثال

طول آونگ ساده کم دامنه چند سانتی‌متر باشد تا بتواند در هر دقیقه ۳۰ نوسان انجام دهد؟ (\(g = 9.8\: \frac{m}{s^{2}}\))

پاسخ) دوره تناوب به معنی مدت زمانی است که یک فرآیند تکرار پذیر نظیر نوسان، تپش قلب، چرخش و … به طور کامل یک سیکل را طی کند. با توجه به صورت سوال، در هر دقیقه ۳۰ نوسان (منظور نوسان کامل – یک سیکل رفت و برگشت کامل) به معنی دوره تناوبی به طول ۲ ثانیه است. یعنی یک رفت و برگشت کامل آونگ ۲ ثانیه طول می‌کشد.

\(T = \frac{t}{n} = \frac{60}{30} = 2\: s\)

\(T = 2 \pi \sqrt{ \frac{L}{g} } \rightarrow T^{2} = 4 \pi^{2} \frac{L}{g}\)

\(L = 0.98\: m\)

اثبات رابطه دوره تناوب آونگ ساده

اثبات رابطه دوره تناوب آونگ ساده خارج از مباحث فیزیک دوازدهم (۳) جدید است. اما اثبات این رابطه با توجه با دانش دانش‌آموز امکان‌پذیر بوده و حتی ممکن است در سوالات آزمون سراسری کنکور و امتحانات نهایی مطرح شود.

حال شکل زیر را در نظر بگیرید. در آونگ ساده اگر از اصطکاک بین جرم و مولکول‌های هوا و جرم نرخ صرف نظر کنیم، بر وزنه نیروی وزن mg و بر نخ نیروی کشش نخ T وارد می‌شود. توجه داشته باشید که در اینجا نخ یا طناب آنچنان محکم است که در صورت کشیده شدن، یعنی اعمال نیروی کشش نخ T، کش نیامده و طول آن ثابت است.

همان‌طور که در شکل (۴) مشاهده می‌کنید،‌ نیروی کشش نخ که در امتداد نخ است، در هر لحظه بر مسیر حرکت وزنه عمود است. در نتیجه نیروی کشش نخ‌، هیچ مولفه‌ای در راستای مماس بر مسیر حرکت ندارد.

حرکت آونگ ساده
شکل (۴) : عامل حرکت، مولفه مماسی نیروی بازدارنده وزن است.

مولفه‌ی نیروی وزن در امتداد مماس بر مسیر حرکت برابر با مقدار زیر است:

\(F = mg \sin \theta\)

همان‌طور که در شکل نیز مشخص است،‌ این نیرو عامل بازگرداننده است که سعی دارد آونگ را به وضعیت تعادل برگرداند.

آونگ ساده

همچنین مولفه‌ی نیروی وزن در امتداد عمود بر مسیر حرکت به صورت زیر است:

\(F’ = mg \cos\theta\)

عنوان کردیم که اگر زاویه انحراف تتا کوچک باشد، می‌توان مسیر حرکت آونگ ساده را تقریباً به مشابه سیستم جرم و فنر حرکتی افقی فرض کرد. با توجه با شکل (۴)، با استفاده از سینوس زاویه داریم:

\(\sin \theta = \frac{x}{L}\)

از آنجایی که مقدار زاویه کوچک است می‌توانیم از تقریب زیر استفاده کنیم:

\(if \:\: : \:\: \theta \leq 6^{\circ } \Rightarrow \sin \theta \cong \theta\)

\(\sin \theta \cong \theta \cong \frac{x}{L}\)

حال با توجه به مولفه نیروی وزن در راستای مماس بر مسیر حرکت می‌توانیم بنویسیم:

\(|F| = mg \sin \theta \cong mg \theta \cong mg\frac{x}{L}\)

با توجه به شکل (۴) و همچنین رابطه فوق، نتیجه می‌شود که این نیرو همواره در خلاف جهت بردار مکان است. رابطه فوق، از قانون هوک در فنر (\(F = – k x\)) پشتیبانی می‌کند که در نتیجه حرکت آونگ ساده کم دامنه یک حرکت هماهنگ ساده به حساب می‌آید.

\(F = – mg \frac{x}{L}\)

با توجه با قانون دوم نیوتن می‌توانیم رابطه زیر را بنویسیم:

\(F = ma = – mg \frac{x}{L}\)

\(a = – g \frac{x}{L}\)

شتاب در حرکت هماهنگ ساده نیز به صورت زیر نتیجه می‌شود:

\(a = – \omega^{2} x\)

نتیجه فوق، از این نکته به دست می‌آید که شتاب، مشتق سرعت نسبت به زمان و یا مشتق دوم مکان نسبت به زمان است. یعنی:

\(a = \frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t} = \frac{\mathrm{d}^{2} x}{\mathrm{d} t^{2}}\)

\(x = A \cos (\omega t)\)

\(a = \frac{\mathrm{d}^{2} }{\mathrm{d} t^{2}} A \cos (\omega t) = – A \omega^{2} \cos (\omega t)\)

حال با توجه به روابط فوق داریم:

\(a = – A \omega^{2} \cos (\omega t) = – \frac{g}{L} \cos (\omega t)\)

\(\Rightarrow \omega^{2} = \frac{g}{l}\)

\(\Rightarrow \omega = 2 \pi f = \frac{2 \pi}{T}\)

\(T = 2 \pi \sqrt{\frac{L}{g}}\)

معرفی دوره آموزشی نوسان (حرکت هماهنگ ساده)

امیدواریم تا مقاله حرکت نوسانی مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا اگر علاقه‌مند به یادگیری کامل مبحث نوسان، نگاهی بر این دوره از کانال فیزیک پلاس بین جو داشته باشید. این دوره در مدت زمان ۲ ساعت و ۴۸ دقیقه برای شما عزیزان، جهت تدریس تمامی نکات درسی تدوین شده است. لینک این آموزش با تخفیف ویژه ۲۰٪ در زیر آمده است:

امیدواریم تا این مقاله برای شما عزیزان مفید واقع شده باشد. در انتهای پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید:

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

انرژی خازن – فیزیک یازدهم (۲)

قانون کولن – فیزیک یازدهم (۲)