معادله درجه دوم

معادله درجه دوم – ریاضی دهم (۱)

زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)،‌ در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به بحث معادله درجه دوم بپردازیم. مبحث معادله درجه دوم موضوعی مشترک برای هر چهار رشته علوم ریاضی، علوم تجربی، علوم انسانی و علوم و معارف اسلامی است.

معادله درجه دوم

همانطور که از اسم این معادله مشخص است، درجه آن از مرتبه ۲ است. یعنی بزرگترین توان متغیر‌های این معادله، ۲ است. فرم کلی یک معادله درجه دوم به صورت زیر است:

\(y = Ax^{2} + Bx + C = 0\)

در رابطه فوق، x متغیر نام دارد و هرکدام از اعداد A و B و C به ضرایب معادله درجه دوم موسوم هستند. همان‌طور که مشاهده می‌فرمایید، بزرگترین مرتبه توان مقدار ۲ بوده که از همین حیث به آن معادله درجه دوم می‌گویند. حال به نظر شما اگر ضریب A صفر باشد، چه می‌شود؟

اگر این عدد (ضریب) صفر باشد، دیگر معادله درجه دوم‌ نبوده و معادله ما به معادله درجه یک (بالاترین توان متغیر x برابر یک است) تبدیل می‌شود. پس در معادله درجه دوم :

\(A\neq 0\)

روش‌های حل معادله درجه دوم

الف) روش تجزیه

به بیان ساده، در این روش سعی میکنیم که فاکتوری را در معادله پیدا کنیم و آن را از معادله بیرون بکشیم.

در واقع با اینکار، معادله درجه دوم را به ضرب دو معادله درجه اول تبدیل می‌کنیم. دلیل این کار از آن جهت است که با توجه به این که معادله ما مساوی صفر است، ضرب دو معادله که جواب آنها صفر شده است، جواب معادله درجه دو را به ما می‌دهد.

توجه داشته باشید که در حالت کلی معادله درجه دوم دارای دو جواب است. یعنی در حالت کلی دو جواب متفاوت وجود دارد که اگر آن‌ها را در معادله درجه دوم به فرم \(y = Ax^{2} + Bx + C = 0\) قرار دهیم حاصل برابر با صفر می‌شود.

مثال) معادله درجه دو زیر را  به روش تجزیه حل کنید.

\(X^{2} – 3X + 2 = 0\)

این معادله درجه دو به ۲ معادله درجه یک تجزیه می‌شود. در واقع با ضرب این دو معادله درجه یک در یکدیگر دوباره همان معادله درجه دوم ابتدایی تشکیل می‌شود.

\((X-1)\times (X-2)) = 0\)

پس جواب معادله درجه دوم بالا X = 1 یا X = 2 می باشد. در واقع اگر هر یک از عدد‌های ۱ و ۲ را در معادله درجه دو اولیه قرار دهیم، در آن صدق می‌کنند.

ب) ریشه گیری (جذر)

حتما با مفهوم رادیکال در ریاضیات آشنایی دارید. ریشه‌گیری درواقع به نوعی همان رادیکال گرفتن از عدد است. این روش می‌تواند برای برخی از معادلات درجه دوم کاربردی باشد. به طور مثال اگر در یک معادله درجه دوم به فرم کلی \(y = Ax^{2} + Bx + C = 0\) ضریب B صفر باشد، به راحتی با بردن C به آن طرف تساوی، می‌توان از جذر یا ریشه‌گیری استفاده کرد.

مثال) حاصل معادله درجه دوم زیر را بیابید.

\(X^{2} = 36\)

می‌دانیم که این معادله یک معادله درجه دوم است، چرا که بالاترین مرتبه (توان) x عدد دو است. برای حل معادله، از طرفین ریشه دوم می‌گیریم، بنابراین جواب نهایی برابر می شود با:

\(X = \sqrt{36}\) و یا \(X = -\sqrt{36}\) که در نهایت جواب معادله بالا، X = 6  یا  X = -6 می‌شود.

سوال) آیا می توانید معادله بالا را به روش تجزیه حل کنید؟

جهت حل این معادله از روش تجزیه، از اتحاد مزدوج استفاده می‌کنیم. در واقع با بردن ۳۶ به آن طرف تساوی خواهیم داشت:

\(X^{2} – 36 = ( X – 6 )( X + 6 ) = 0 \rightarrow X = \pm 6\)

پ) روش مربع کامل

در این روش شما باید اتحاد مربع کامل را به یاد آورده و با استفاده از آن، به حل سوال بپردازید. اجازه دهید تا این روش را در مثال زیر ببینیم.

مثال) حاصل معادله درجه دوم زیر را به روش مربع کامل بیابید.

\(X^{2} + 4X = 5\)

حل) با کمی دقت در معادله درجه دوم بالا متوجه می‌شویم که این معادله بسیار شبیه به اتحاد مربع کامل (به توان ۲ رسیده یک معادله درجه اول) است. برای حل کافی است با کمی تغییرات در معادله (اضافه کردن مقداری خاص به طرفین معادله، آن را به فرم اتحاد مربع کامل بنویسیم. به طرفین معادله عدد ۴ را اضافه می‌کنیم:

\(X^{2} + 4X+ 4 = 5 + 4\)

حال طرف چپ معادله ما، دقیقا باز شده یک اتحاد مربع کامل است. به فرایند زیر دقت کنید‌:

\(X^{2} + 4X+ 4 = (X + 2)^{2} = 5+4 = 9\)

بنابراین :

\((X + 2)^{2} = 9\)

پس X + 2 = 3 یا  X + 2 = -3 می باشد که در نهایت داریم‌:

X = 1  یا  X = -5

ت) روش فرمول کلی

در این روش، فرمولی کلی بدست می‌آید که برای حل هر نوع معادله درجه دومی کاربرد دارد. فرض کنید معادله زیر را داشته باشیم‌:

\(ax^{2}+ bx + c =0\)

با استفاده از روش مربع کامل که در بالا یاد گرفتیم، می‌توانیم معادله را مربع کنیم و پس از آن به به فرمول‌های کلی حل معادله درجه دوم برسیم. ابتدا طرفین معادله را بر a تقسیم می‌کنیم.

\(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b}{c} = 0\)

\(x^{2} + \frac{b}{a} x = – \frac{b}{c}\)

به طرفین معادله فوق، \(\frac{b^{2}}{4 a^{2}}\) را اضافه می‌کنیم تا سمت چپ آن را به فرم مربع کامل بنویسیم:

\(x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{b^{2}}{4 a^{2}} = – \frac{b}{c} + \frac{b^{2}}{4 a^{2}}\)

\(( x + \frac{b}{2a})^{2} = \frac{b^2 – 4 a c}{4 a^2}\)

حال پارامتر دلتا را به صورت زیر را تعریف می‌کنیم:

\(b^2 – 4 a c = \Delta \Rightarrow ( x + \frac{b}{2a})^{2} = \frac{\Delta}{4 a^2}\)

حال به نظر شما، آیا می‌توان با استفاده از ریشه‌گیری (جذر) از رابطه فوق، معادله را حل کرد؟!

برای آنکه بتوانیم از یک رابطه جذر (رادیکال – ریشه دوم) بگیریم، آن رابطه باید مثبت باشد. پس اگر \(\Delta < 0\) باشد، نمی‌توان از آن ریشه دوم گرفت. حال اگر \(\Delta > 0\) باشد به راحتی می‌توانیم از آن ریشه دوم بگیریم.

\(if\: : \: \Delta > 0 \Rightarrow x + \frac{b}{2 a} = \pm \frac{ \sqrt{\Delta} } { 2a }\)

\(\Rightarrow x = \frac{ – b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

رابطه فوق به فرمول کلی حل معادله درجه دو موسوم است.

حال اگر دلتا برابر با صفر شود داریم:

\((x + \frac{b}{2 a})^{2} = 0 \rightarrow x = – \frac{b}{2a}\)

لازم به ذکر است که به رشته یا جواب معادله درجه دوم در حالت \(\Delta = 0\) به ریشه مضاعف یا ریشه مکرر مرتبه دوم موسوم است.

معادله درجه دو

مثال) معادله \(-x^{2} + 4 x – 4 = 0\) را با استفاده از فرمول کلی (فرمول دلتا) حل کنید.

\(\Delta = b^{2} – 4 a c = (4)^{2} – 4 \times -1 \times -4 = 0\)

\(x = \frac{ – b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)

\(x = – \frac{b}{2a} = – \frac{4}{2 \times -1} = 2\)

امیدواریم که این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

فرمول در ورد (Word) – شیمی و ریاضی

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

ضبط کلاس آنلاین – اسکای روم

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *