تابع چیست

تابع چیست؟ – ریاضی دهم (۱)

زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا به سوال تابع چیست در علم ریاضیات پاسخ دهیم. تابع مفهومی بسیار پرکاربرد در ریاضیات و فیزیک دارد که شاید شما پیشتر با آن به نحوی آشنا شده باشید. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید تا به طور کامل‌تر و دقیق با مفهوم تا‌بع از کتاب ریاضی ۱ پایه دهم (ریاضی و تجربی) آشنا شویم.

تابع

یک تابع از مجموعه A به مجموعه B، رابطه‌ای بین این دو مجموعه است که در آن به هر عضو از A، دقیقا یک عضو از مجموعه B تعلق می‌گیرد. برای درک بهتر، به مثال زیر توجه کنید‌:

تابع

در تصویر فوق، محمد، حسین و امید سه دانش آموز از کلاس دهم هستند که هر کدام به رشته ورزشی‌ خاصی علاقه‌مند هستند. درواقع محمد و حسین و امید یک مجموعه را شامل می‌شوند و رشته‌های ورزشی والیبال و فوتبال، یک مجموعه دیگر را شکل می‌دهند. حال بیایید با هم، ۳ مورد بالا را بررسی کنیم و ببینیم که با توجه به تعریف تابع که بیان کردیم، کدام یک تا‌بع هستند و کدام یک تا‌بع نیستند.

  • مورد اول: باید توجه کنیم که به هرعضو از مجموعه A، دقیقا یک عضو از مجموعه B تعلق بگیرد. در این مورد، محمد فقط فوتبال بازی می کند، حسین فقط فوتبال بازی می کند و امید فقط والیبال بازی می‌کند. خب پس در این گزینه، تمام افراد فقط یک ورزش را دنبال می‌کنند؛ پس شماره ۱، تا‌بع است.
  • مورد دوم: در این مورد هم هرکدام از اعضا فقط یک ورزش را دنبال می کنند. پس این گزینه نیز یک تا‌بع است.
  • مورد سوم: در این گرینه، حسین و امید فقط فوتبال بازی می کنند ولی محمد علاوه بر فوتبال، به والیبال نیز مشغول است. پس گزینه ۳ یک تا‌بع نیست.

نکته: برای بررسی تا‌بع بودن یا نبودن یک رابطه، کافیست به این نکته توجه کنید که از هر عضو مجموعه اول، فقط و فقط یک پیکان به سمت بیرون آمده باشد. همانطور که در گزینه سوم مشاهده می‌کنید، از محمد، دو پیکان به سمت مجموعه B، امتداد یافته است، پس تا‌بع نیست.

نکته بسیار مهم: اگر نمودار یک رابطه داده شده باشد، هنگامی این نمودار تا‌‌بع است که هر خط موازی محور عرض‌ها، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

نمایش تابع به صورت زوج مرتب و نمودار مختصاتی

همانطور که دقت کردید، در هر تابعی، دو عضو در ارتباط هستند. مثلا رابطه ارتفاع از سطح زمین  و دمای هوا را در نظر بگیرید.

اگر ارتفاع ما از سطح زمین بیشتر بشود، دمای هوا کمتر می‌شود. حال بیایید دمای هوا و ارتفاع زمین را در چند نقطه به صورت امتحانی یاد داشت کنیم. برای مثال اعداد زیر را در نظر بگیرید :

۱۰۰۰ ۵۰۰ ۱۰۰ ۱۰ ارتفاع از سطح زمین(متر)
۱ ۵ ۱۰ ۲۵ دمای هوا(درجه سانتی گراد)

می توانیم هریک از ستون‌های جدول بالا را به عنوان یک زوج مرتب به شکل زیر در نظر بگیریم:

\({(۱۰,۲۵) , (۱۰۰,۱۰) , (۵۰۰,۵) , (۱۰۰۰,۱)}\)

به عدد اول هر یک از زوج های مرتب بالا، مولفه اول و به عدد دوم، مولفه دوم می‌گویند. حال با توجه به این مجموعه زوج های مرتب، می توانیم نمودار ارتفاع از سطح زمین و دمای هوا را مانند نمودار‌های X-Y رسم کنیم. به طور مثال ارتفاع به عنوان محور عمودی (Y) و دمای هوا به عنوان محور افقی (X). توجه داشته باشید اگر تعداد نقاط خیلی زیاد باشند، نمودار حاصل یک نمودار پیوسته خواهد شد. اما در مثال فوق تنها ۴ نقطه روی نمودار نشان داده می‌شود.

رابطه و تابع

دامنه و برد

حال که هر یک از تعاریف بالا را یاد گرفتید، به سراغ تعریف دامنه و برد توابع می‌پردازیم.

دوباره همان مجموعه مثال قبل را در نظر بگیرید‌:

\({(۱۰,۲۵) , (۱۰۰,۱۰) , (۵۰۰,۵) , (۱۰۰۰,۱)}\)

این مجموعه همانطور که گفته شد، شامل تعدادی زوج مرتب است که هر کدام از ۲ مولفه اول و دوم تشکیل شده‌اند.

در تعریف دامنه؛ به مجموعه مولفه‌های اول مجموعه زوج‌های مرتب، دامنه تا‌بع می‌گویند. در مثال بالا اعداد ۱۰ , ۱۰۰ , ۵۰۰ , ۱۰۰۰ دامنه تابع هستند.

در تعریف برد؛ به مجموعه مولفه‌های دوم مجموعه زوج‌های مرتب، برد تابع می‌گویند. دوباره به مثال بالا نگاه کنید، اعداد ۲۵ , ۱۰ , ۵ , ۱ برد تا‌بع هستند. لازم به ذکر است که در ریاضیات عموماً تابع را با حرف f مخفف Function نمایش می‌دهند.

دامنه  = {۱۰ , ۱۰۰ , ۵۰۰ , ۱۰۰۰}

برد  = {۲۵ , ۱۰ , ۵ , ۱}

مثال) باتوجه به نمودار زیر، ابتدا بررسی کنید که آیا نمودار یک تا‌بع را نشان می دهد؟ اگر بله، سپس به نوشتن مجموعه زوج های مرتب تا‌بع بپردازید و پس از آن، دامنه و برد تابع را مشخص کنید. توجه داشته باشید که خط ها به فاصله یک واحد از یک دیگر رسم شده‌اند.

تابع چیست

حل) ابتدا تا‌بع بودن را بررسی می‌کنیم. با توجه به اینکه هر عضو از محور افقی، یک عضو از محور عمودی را به خود اختصاص داده است، پس این نمودار یک تا‌بع را نمایش می‌دهد.

یادآوری می‌کنیم که اگر نمودار یک رابطه داده شده باشد، هنگامی این نمودار تا‌بع است که هر خط موازی محور عرض‌ها (عمودی)، نمودار را حداکثر در یک نقطه قطع کند.

حال پس از آنکه متوجه تابع بودن نمودار شدیم، به نوشتن زوج مرتب‌ها می‌پردازیم:

\(f = { (1,1) , (2,2) , (3,1) , (4,1) }\)

حال با توجه به زوج مرتب های بالا، دامنه و برد تابع را می نویسیم‌:

دامنه  = { ۱ , ۲ , ۳ , ۴}

برد  = { ۱ , ۲ , ۱ , ۱}

انواع توابع

توابع چند جمله‌ای

توابعی را چند جمله‌ای می‌گویند که نمایش جبری آنها، چند جمله‌ای های جبری از یک متغیر هستند.

به عنوان مثال توابع چندجمله ای زیر را در نظر بگیرید:

\(f(x) = 2x^{2} + 3x + 5\)

\(g(t) = 4t^{5} + 3t^{3} + 5t + 3\)

\(h(a) = \frac{1}{2}a^{3} + 5a\)

اگر نمودار هر یک از رابطه‌های فوق را رسم کنیم، هر نقطه از محور افقی تنها با یک نقطه از محور عمودی در ارتباط است، به عبارت دیگر  هر خط موازی محور عمودی، نمودار را در یک نقطه قطع می‌کند، پس این رابطه‌های تا‌بع هستند.

تابع همانی

اگر دامنه و برد یک تا‌بع برابر باشند و هر عضو از دامنهٔ تا‌بع دقیقاً به همان عضو در برد نظیر شود، تا‌بع را همانی می‌نامند. مثال نموداری زیر را در نظر بگیرید :

تابع همانی

این نمودار، تابع همانی را نشان می دهد.

تابع ثابت

تابع ثابت، تابعی است که برد آن فقط شامل یک عضو باشد. برای مثال، تا‌بع زیر را در نظر بگیرید‌:

\(f(x) = k\)

به طور مثال در مقاله حرکت با شتاب ثابت، دیدیم که شتاب حرکت جسم در همه لحظه‌ها ثابت است (شکل زیر)

تابع ثابت

تابع قدر مطلق

تابعی را تابع قدر مطلق می گویند که هر مقدار در دامنه را به قدر مطلق آن در برد نظیر می‌کند.

\(f(x) = \left |x \right |\)

بنابراین تا‌بع بالا به تابع قدر مطلق معروف است. نمودار تا‌‌بع قدرمطلق، به صورت زیر است:

تابع قدر مطلق

به یاد داشته باشید که نمودار تابع قدر مطلق شبیه به عدد ۷ فارسی است.

تابع قطعه ای

تابع قطعه‌ای یا به اصطلاح دقیق‌تر تابع ضابطه دار، تابعی است که از قسمت‌های مختلف تشکیل شده است. یعنی در واقع تا‌بع قطعه‌ای، مجموعه‌ای از توابع مختلف است.

برای مثال تابع زیر یک تابع قطعه ای می باشد :

\(f(x) = \left\{\begin{matrix} X^{2} \ \ \ \ \ \ \ \ X> 1\\ -X +5 \ \ \ \ X< -2 \end{matrix}\right.\)

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ایزوتوپ چیست؟ – شیمی دهم (۱)

جرم اتمی میانگین – شیمی دهم (۱)

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

ضبط کلاس آنلاین – اسکای روم

موفقیت در امتحانات پایان ترم

 

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *