ماتریس

ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به موضوع ماتریس (Matrix) در کتاب هندسه دوازدهم (۳) بپردزیم.

ما‌تریس‌، یکی کاربردی‌ترین مباحث ریاضی است که در سایر علوم، به خصوص فیزیک کوانتوم کاربرد دارد. از فیزیکدان معروف، هایزنبرگ نقل است که می‌گوید، تنها ابزار من در فیزیک کوانتوم ما‌‌تریس‌ها هستند. به طور کل ریاضیات کاربردی که در اکثر علوم از آن‌ها استفاده می‌کنیم، نیاز مبرمی به ما‌تریس‌ها دارند. چرا که در بیشتر مسائل به معادلات و نامعادلاتی برخورد می‌کنیم که حل آن را با مفهوم ماتریس در ارتباط است.

تعریف ماتریس

به بیان خیلی ساده، ما‌‌تریس تنها یک فرم یا آرایشی خاص از نمایش اعداد اعداد است. برای این منظور جدول زیر را در نظر بگیرید.

ماتریس

در جدول فوق، اطلاعات مسابقاتی چهار تیم مشخص شده است. حال این اطلاعات را به فرم یا آرایشی خاص همانند شکل زیر می‌نویسیم.

ماتریس چیست

شکل فوق، که یکسری اعداد را درون دو کروشه نمایش می‌دهد به ماتریس موسوم است. این ما‌‌تریس دارای چهار سطر و چهار ستون بوده که هر سطر اطلاعات مربوط به یک تیم و ستون‌ها حاوی اطلاعات برد، باخت، مساوی و امتیاز هر تیم است.

پس به طور کلی برای تعریف ماتریس می‌توانیم بگوییم که:

هر آرایش مستطیلی همانند فوق از اعداد حقیقی، شامل تعدادی سطر و ستون به ماتریس موسوم است. به هر یک از اعداد حقیقی درون ماتریس، درایه ماتریس می‌گویند.

نمایش ماتریس

برای نمایش ما‌تر‌یس‌ها، عموماً از حروف بزرگ لاتین نظیر A، ‌B و … استفاده می‌کنند.  به عنوان مثال ما‌‌تریس A را به شکل زیر در نظر بگیرید.

ماتریس هندسه دوازدهم

\(\sqrt{2}\)، درایه سطر اول و ستون چهارم است. یا \(\pi\) درایه سطر سوم و ستون سوم است. یا ۵ درایه سطر دوم و ستون اول است.

لازم به ذکر است که به طور کلی، ما‌تریس A دارای m سطر و n ستون است که آن را به فرم \(A_{m \times n}\) نمایش می‌دهیم.  به این معنی است که A ما‌تریسی از مرتبه m در n است (\(m \times n\)). در صورتی که m=n باشد، ما‌تر‌یس مربعی است. یعنی تعداد سطر و ستون آن با یکدیگر برابر است.

نمایش درایه ماتریس

جهت نمایش درایه یک ما‌تریس، یعنی مشخص کردن جایگاه آن در ما‌تریس به صورت آدرس دهی از سطر و ستون، دو اندیس در نظر می‌گیریم که به صورت زیر نوشته می‌شود.

\(\large a_{ij}\)

در نمایش فوق، i شماره سطر و j شماره ستون را مشخص می‌کند. مثلا \(\large a_{23}\) به معنای عضو سطر دوم و ستون سوم ماتریس است. شکل زیر نمایش ما‌‌‌تریس و نمایش درایه ما‌‌تریس را مشخص می‌کند.

درایه ماتریس

پس مطابق با شکل فوق، درایه \(a_{ij}\) را یک درایه عمومی ماتریس B می‌نامیم که در آن \(۱ \leq i \leq m\) و \(۱ \leq j \leq n\) است. به طور کل می‌توان همه درایه‌های یک ماتریس نظیر ماتریس B را توسط درایه عمومی به فرم اختصاری زیر نمایش داد.

\(B = [ b_{ i j }]_{m \times n}\)

در حالت فوق، اگر m=n=1 باشد، ماتر‌یس B تنها یک عضو داشته که در واقع همان عدد حقیقی است. یعنی ما‌‌‌تریس یک در یک، همان عدد حقیقی است.

به خاطر دارید که برای نمایش جایگاه یک عدد در دستگاه مختصات، آن را به فرم \(\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) می‌نویسیم. در واقع این نمایش چیزی جز یک ماتریس دو در یک (دو سطر و یک ستون) نیست. در دستگاه مختصات سه بعدی (فضای \(R^{3}\)) نیز برای نمایش یک نقطه داریم، \(\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}\) که این نیز یک ما‌‌تریس است. در واقع ما‌‌تریس در این ما‌تریس ستون بیانگر مکان روی هر یک از سطر‌های x، y و z است.

مثال) ما‌‌تریس \(A = [ a_{i j}]_{2 \times 2}\) را در نظر بگیرید. مشخص است که این ما‌تر‌یس مربعی است (m=n=2). اگر برای i=j داشته باشیم \(a_{i j} = 7\) و برای \(i > j\) داشته باشیم \(a_{i j} = 5\) و برای \(i < j\) داشته باشیم \(a_{i j} = -2\). ما‌تر‌یس A به صورت زیر نتیجه می‌شود:

\(A = \begin{bmatrix} 7 & -2\\ 5 & 7 \end{bmatrix}\)

معرفی چند ماتریس خاص

در ادامه به معرفی چند ماتریس خاص می‌پردازیم.

ماتریس مربعی

همان‌طور که پیش‌تر اشاره شد، اگر در یک ما‌‌‌تریس، تعداد سطر و ستون برابر باشند، یعنی m=n، ماتر‌یس را مربعی از مرتبه n یا m (\(n \times n \ \ \ or \ \ \ m \times m\)) می‌گویند. لازم به ذکر است که یک عدد حقیقی نیز به نوعی ما‌‌‌‌تریس مربعی (ما‌تر‌‌یس مربعی مرتبه ۱) به حساب می‌آید.

ماتریس مربعی

در مثال‌های فوق، درایه‌هایی که به دور آن‌ها خط آبی کشیده شده است، درایه‌های قطر اصلی هستند. در صورتی که i=j باشد، در این صورت درایه  روی قطر اصلی قرار دارد. توجه داشته باشید که اگر ما‌‌‌تریس مربعی نباشد، عموماً درایه‌های i=j را درایه‌های قطر اصلی در نظر می‌گیرند. مثلا:

\(K = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(V = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}\)

ماتریس سطری

اگر ما‌‌تریس A تنها از یک سطر تشکیل شده باشد (یک سطر m=1 و n ستون)، به آن ما‌‌تر‌یس سطری می‌گویند. به عنوان مثال:

ماتریس سطری

ماتریس ستونی

اگر ما‌تریس A تنها از یک ستون تشکیل شده باشد (m سطر و یک ستون n=1)، به آن ما‌‌تر‌یس ستونی می‌گویند. به عنوان مثال:

ماتریس ستونی

ماتریس قطری

اگر در یک ما‌تریس مربعی، تمام درایه‌های غیر واقع بر قطر اصلی، صفر باشند، این ما‌تریس به ما‌‌تر‌یس قطری موسوم است. لازم به ذکر است که درایه‌های قطر اصلی می‌توانند صفر باشند یا نباشند. به طور مثال:

ماتریس قطری

ماتریس اسکالر

اگر ما‌تریسی قطری باشد  (یعنی یک ماتر‌یس مربعی با درایه‌های صفر غیر واقع بر قطر اصلی) و تمام درایه‌های قطر اصلی آن با یکدیگر برابر باشند، به آن ماتر‌‌یس اسکالر می‌گویند. یعنی:

ماتریس اسکالر

ماتریس صفر

اگر تمام درایه‌های یک ما‌‌تریس، همگی صفر باشند، به آن ما‌‌تر‌یس صفر می‌گویند. عموماً ما‌تریس صفر را با نماد \(\overline{O}\) نمایش می‌دهند.

ماتریس واحد

اگر تمام درایه‌های یک ما‌‌‌تریس، همگی یک باشند، به آن ما‌تر‌یس واحد می‌گویند. عموماً ما‌تریس صفر را با نماد \(\overline{I}\) نمایش می‌دهند.

تساوی بین دو ماتریس

دو ما‌تریس هم مرتبه \(A = [a_{ij}]_{m \times n}\) و \(B = [b_{ij}]_{m \times n}\) را مساوی گویند، هرگاه درایه‌های آن‌ها نظیر به نظیر با یکدیگر برابر باشند. در واقع اگر:

\(\forall \ \ i \ \ , \ \ j , a_{ i j } = b_{ i j } \Leftrightarrow [a_{ i j }] = [b_{ i , j}]\)

آنگاه دو ماتر‌‌یس هم مرتبه A و B با یکدیگر مساوی هستند.

مثال) مقدار سه پارامتر x, y و z را طوری بیابید که دو ماتریس A و B با یکدیگر مساوی باشند.

\(A = \begin{pmatrix} 3 & x+y\\ 2 & 5 \end{pmatrix}\)

\(B = \begin{pmatrix} x – y & 9\\ 2 & z – 1 \end{pmatrix}\)

\(A = B \Rightarrow \begin{cases} & \text{ x – y = 3 } \\ & \text{ x + y = 9 } \\ & \text{ z – 1 = 5} \end{cases}\)

\(x = 6 \ \ \ , \ \ \ y = 3 \ \ \ , \ \ \ z = 6\)

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

 

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *