ضرب ماتریس

ضرب ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

زمان مطالعه: ۷ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث مهم ضرب ماتریس‌ها بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید. در صورتی که در مفهوم ماتریس ضعف دارید، پیشنهاد می‌کنیم تا قبل مطالعه این مقاله، به مقاله ماتریس – هندسه دوازدهم (۳) مراجعه فرمایید.

جمع و تفریق ماتریس ها

قبل از اینکه به بررسی عمل ضرب در ماتریس‌ها بپردازیم، دو عمل بسیار ساده جمع و تفریق را بررسی می‌کنیم. عمل جمع و تفریق در ماتریس‌ها بسیار ساده است و تنها باید توجه داشت دو ماتریسی که قرار است باهم جمع شوند یا از یکدیگر تفریق شوند، هم مرتبه باشند. هم مرتبه بودن بدین معنی است که هر دو ماتریس از حیث تعداد سطر و ستون مشابه یکدیگر باشند. به طور مثال هر دو ماتریس دو در سه (\(۲ \times 3\)) باشند.

\(A = [a_{ i j}]_{ m \times n} \ \ , \ \ B = [b_{ i j}]_{ m \times n}\)

\(A \pm B = [a_{ i j}]_{ m \times n} \pm [b_{ i j}]_{ m \times n} = [a_{ i j} \pm b_{ i j}]_{ m \times n}\)

عبارت فوق بیان می‌کند که برای جمع و یا تفریق دو ماتریس هم مرتبه، تنها کافی است که عمل جمع یا تفریق را برای تمامی درایه‌های نظیر به نظیر انجام دهیم. به طور مثال دو ماتریس سه در چهار (سه سطر و چهار ستون) زیر را در نظر بگیرید. از آنجایی که دو ماتریس هم مرتبه می‌باشند، می‌توان عمل جمع و یا تفریق را برای آن‌ها نوشت.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 & -1 \\ 4 & 5 & 6 & -1 \\ 7 & 8 & 9 & -1 \end{bmatrix}\)

\(B = \begin{bmatrix} -1 & -2 & -3 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 4 \\ 5 & 6 & 7 & 8 \end{bmatrix}\)

\(A + B = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\ 5 & 7 & 9 & 3 \\ 12 & 14 & 16 & 7 \end{bmatrix}\)

ضرب ماتریس

در ادامه این مقاله قصد داریم تا بررسی ضرب ماتریس‌ها بپردازیم.

ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس

ضرب یک عدد حقیقی در ماتریس بسیار آسان بوده و تنها کافی است عدد را در تمامی درایه‌های ماتریس ضرب کنیم. به بیان ریاضی یعنی:

\(A = [a_{i j}]_{m \times n} \ \ , \ \ r \epsilon R \Rightarrow r A = r [a_{i j}]_{m \times n} = [r a_{i j}]_{m \times n}\)

جهت درک بهتر، به مثال‌ زیر توجه کنید:

\(\frac{1}{2} \times \begin{bmatrix} 4 & 6 & 8 & 1 \\ 0 & 3 & 5 & 7\\ \sqrt{2} & -1 & 2 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4 & \frac{1}{2}\\ 0 & \frac{3}{2} & \frac{5}{2} & \frac{7}{2}\\ \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{1}{2} & 1 & 4 \end{bmatrix}\)

فاکتورگیری از یک ماتریس نیز خود کاربردی از ضرب یک عدد در ماتریس است. به طور مثال:

\(\begin{bmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 8 & 4 & 2\\ 10 & 3 & 1 \end{bmatrix} = 2 \times \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 1\\ 5 & \frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}\)

قرینه ماتریس

منظور از قرینه یک ماتریس، این است که ماتریس را در عدد (۱-) ضرب کنیم. اگر یک ماتریس را با A نشان دهیم، قرینه ماتریس با A- نمایش داده می‌شود. بدیهی است که اگر یک ماتریس را با قرینه خودش جمع کنیم حاصل ماتریس صفر می‌شود.

\(A + ( – A ) = \overline{O}\)

خواص جمع ماتریس‌ها و ضرب عدد در ماتریس

فرض کنید که سه ماتریس A، B و C همگی ماتریس‌های  یعنی هم‌مرتبه هستند. اگر r و s نیز اعدادی حقیقی باشند، عبارات زیر برای جمع دو ماتریس و یا ضرب یک عدد در ماتریس قابل اثبات هستند:

  • خاصیت جابه‌جایی

\(A + B = B + A\)

  • خاصیت شرکت پذیری

\(A + ( B + C ) = ( A + B ) + C\)

  • خاصیت عضو خنثی برای عمل جمع ماتریس‌ها

\(A + \overline{O} = \overline{O} + A = A\)

  • خاصیت عضو قرینه

\(A + ( – A ) = ( – A ) + A = \overline{O}\)

  • سایر خاصیت‌ها:

\(r ( A \pm B) = rA \pm rB\)

\(( r \pm s) A = r A \pm s A\)

\(r A = r B \ \ , \ \ r \neq 0 \Rightarrow A = B\)

\(A = B \Rightarrow r A = r B\)

ضرب ماتریس سطری در ماتریس ستونی

فرض کنید که A ماتریسی سطری (یک در n) و B ماتریسی ستونی (m در یک) است و تعداد ستون‌های ماتریس A یعنی n با تعداد سطر‌های ماتریس B یعنی m برابر باشد. در این صورت ضرب دو ماتریس \(A \times B\) تعریف شده و برای اینکار تنها کافی است هر درایه ماتریس A را در درایه نظیرش در ماتریس B ضرب کنیم و در نهایت حاصل این ضرب‌ها را با یکدیگر جمع کنیم. در واقع حاصل نهایی این ضرب یک عدد حقیقی یا به عبارتی ماتریس یک در یک است.

مثال: ضرب دو ماتریس زیر به صورت \(A \times B\)  را انجام دهید.

\(A = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 0 & 3 & -5 \end{bmatrix}\)

\(B = \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \\ 7 \\ -1 \\ -2 \end{bmatrix}\)

ضرب ماتریس سطری در ستونی

حال به نظر شما اگر در مثال فوق \(B \times A\) را محاسبه کنیم باز جوابی مشابه حاصل خواهد شد؟ آیا اصلا امکان چنین کاری وجود دارد؟ باید بگوییم که خیر! در حالت کلی عمل ضرب ماتریس از جابه‌جایی پشتیبانی نمی‌کند.

در ادامه مقاله با ما همراه باشید تا به طور کلی‌تر ضرب ماتریس در ماتریس را بررسی کنیم.

ضرب ماتریس در ماتریس

فرض کنید که A ماتریسی \(m \times p\) و B ماتریسی \(p \times n\) است. یعنی تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطر‌های ماتریس B برابر باشد. در این صورت حاصل ضرب \(A_{mp} \times B_{pn}\) به شکل زیر قابل تعریف است:

\(A_{mp} \times B_{pn} = C_{m n} = [c_{ij}]\)

ماتریس C ماتریسی از مرتبه \(m \times n\) بوده که درایه روی سطر iام و ستون jام در آن (\(c_{i j}\))، از ضرب سطر iام ماتریس A در ستون jام ماتریس B حاصل می‌شود. به عبارت دیگر:

ضرب ماتریس

مشاهده می‌کنید که هر درایه ماتریس C عددی است که از ضرب یک ماتریس سطری در ماتریس ستونی نتیجه شده است.

پس به طور کل به یاد داشته باشید برای آنکه بتوان عمل ضرب را برای دو ماتریس کلی X و Y تعریف کرد، باید تعداد ستون‌های ماتریس X با تعداد سطر‌های ماتریس Y برابر باشد. برای آنکه این جمله برایتان ملموس‌تر شود، اجازه دهید مثال زیر را بررسی کنیم.

مثال) برای دو ماتریس زیر حاصل ضرب \(A \times B\) را به دست آورید.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1\\ 3 & 2 & 1\\ -1 & -2 & 4 \end{bmatrix}_{3 \times 3}\)

\(B = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & 2\\ 4 & 5 \end{bmatrix}_{ 3 \times 2}\)

مشاهده می‌کنید که ماتریس A دارای سه سطر و سه ستون و ماتریس B دارای سه سطر و دو ستون است. از آنجایی که تعداد ستون‌های ماتریس A با تعداد سطر‌های ماتریس B برابر است، امکان تعریف ضرب \(A \times B\) وجود دارد. اما امکان تعریف ضرب \(B \times A\) وجود ندارد! (چرا؟)

با این اوصاف داریم:

\(A_{ 3 \times 3} \times B_{3 \times 2} = C_{3 \times 2} = [c_{i j}]_{3 \times 2}\)

پس ماتریس C ماتریسی سه در دو است (سه سطر و دو ستون). حال اجازه دهید به طور مثال دو درایه \(c_{12}\) و \(c_{32}\) را به دست آوریم.

  • \(c_{12}\) یعنی ضرب سطر اول ماتریس A در ستون دوم ماتریس B
  • \(c_{32}\) یعنی ضرب سطر سوم ماتریس A در ستون دوم ماتریس B

ضرب ماتریس

خواص عمل ضرب ماتریس‌‌ها

در صورتی که دو ماتریس هم مرتبه باشند، امکان تعریف ضرب \(A \times B\) و \(B \times A\) وجود خواهد داشت. اما آیا پاسخ‌ها یکسان خواهد بود؟ اجازه دهید با دو مثال بررسی کنیم.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 3 \end{bmatrix}\)

\(B = \begin{bmatrix} -1 & -4\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\)

\(A \times B = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 3 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} -1 & -4\\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -4\\ 4 & 4 \end{bmatrix}\)

\(B \times A = \begin{bmatrix} -1 & -4\\ 1 & 0 \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -14\\ 1 & 2 \end{bmatrix}\)

پس به طور کلی، ضرب ماتریس‌‌ها خاصیت جا‌به‌جایی ندارد.

یکی دیگر از خواص ضرب ماتریس‌‌ها وجود عضو خنثی ماتریس اسکالر واحد (به اختصار ماتریس واحد یا ماتریس همانی) است. به طور کلی:

\(A_{m \times n} \times I_{n} = I_{n} \times A_{m \times n} = A_{m \times n}\)

ماتریس همانی

یکی دیگر از خواص ضرب ماتریس‌‌‌ها برقراری رابطه زیر است. این رابطه به خاصیت توزیع‌پذیری یا پخش موسوم است.

\(A \times ( B + C ) = ( A \times B) + ( A \times C)\)

یکی دیگر از خواص ضرب ماتریس‌ها برقراری خاصیت شرکت‌پذیری به شکل زیر است:

\(A \times ( B \times C ) = ( A \times B) \times C\)

به عنوان تمرین با ۳ ماتریس زیر، درستی خاصیت شرکت‌پذیری و توزیع‌پذیری را بررسی کنید.

\(A = \begin{bmatrix} 1 & 2\\ -1 & 0\\ 2 & -1 \end{bmatrix}_{ 3 \times 2}\)

\(B = \begin{bmatrix} 1 & -1\\ 2 & 3 \end{bmatrix}_{ 2 \times 2}\)

\(C = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ -1 & 1 \end{bmatrix}_{ 2 \times 2}\)

امیدواریم تا مقاله ضرب ماتریس مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

میدان الکتریکی در داخل رسانا – فیزیک یازدهم (۲)

سلف یا القاگر – فیزیک یازدهم (۲)

انرژی خازن – فیزیک یازدهم (۲)

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *