وارون ماتریس

وارون ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

زمان مطالعه: ۳ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا به بحث وارون ماتریس یا معکوس ماتریس از کتاب هندسه دوازدهم (۳) بپردازیم. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید.

معکوس ماتریس

وارون ماتریس

همان‌طور که می‌دانید، برای هر عدد حقیقی نظیر a که \(a \neq 0\) باشد، می‌توانیم وارون آن را به فرم \(\frac{1}{a}\) تعریف کنیم. بدیهی است که همواره رابطه زیر برای هر عدد حقیقی برقرار است. به طور کل، عدد یک، عضو خنثی برای عمل ضرب است.

\(\frac{1}{a} \times a = 1\)

حال با استفاده از تعریفی مشابه می‌توانیم برای یک ماتریس، وارون آن را در صورت وجود بنویسیم. به طور کلی، برای هر ماتریس مربعی نظیر A، وارون آن (‌وارون ماتریس A) یک ماتریس مربعی نظیر B است (در صورت وجود) به طوری که رابطه زیر برقرار باشد. در رابطه زیر I، ماتریس همانی است.

\(A \times B = B \times A = I\)

B را وارون ماتریس یا معکوس ماتریس A می‌نامند. لازم به ذکر است که عموماً وارون ماتریس A را با نماد \(A^{-1}\) نشان می‌دهند. حال اجازه دهید تا درستی رابطه فوق را در قالب یک مثال بررسی کنیم. می‌خواهیم بررسی کنیم که آیا ماتریس B وارون ماتریس A هست یا خیر.

\(A = \begin{bmatrix} 7 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix}\)

\(B = \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 2 & -7 \end{bmatrix}\)

به راحتی با استفاده از عمل ضرب که در مقاله (ضرب ماتریس) با آن آشنا شدیم، دو ضرب زیر را انجام می‌دهیم.

\(A \times B = \begin{bmatrix} 7 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 2 & -7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

\(B \times A = \begin{bmatrix} -1 & 4\\ 2 & -7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 4\\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

مشاهده می‌کنیم که رابطه \(A \times B = B \times A = I\) برقرار است.

فرمول کلی وارون ماتریس مرتبه دوم

حال اجازه دهید تا با استفاده از همین رابطه \(A \times B = B \times A = I\)، یک رابطه کلی برای محاسبه وارون ماتریس مرتبه دوم یعنی (\(۲ \times 2\)) به دست آوریم.

طبق این رابطه جهت محاسبه وارون یک ماتریس نظیر ماتریس \(A = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix}\)، در صورت وجود باید ماتریسی همانند \(B = \begin{bmatrix} x & y\\ z & t \end{bmatrix}\) بیابیم به طوری که \(A \times B = B \times A = I\) یا به عبارت بهتر:

\(A \times B = \begin{bmatrix} a & b\\ c & d \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y\\ z & t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\)

هدف این است که x, y, z و t را برحسب a, b, c و d به دست آوریم. در این صورت B یا \(A^{-1}\) به صورت زیر نتیجه می‌شود.

\(\large B \equiv A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{d}{ad – bc} & \frac{-b}{ad – bc}\\ \frac{-c}{ad – bc} & \frac{a}{ad – bc} \end{bmatrix}\)

به راحتی با توجه به مفهوم ضرب عدد در ماتریس‌، می‌توانیم عامل مشترک \(\frac{1}{ad-bc}\) را از ماتریس \(A^{-1}\) فاکتور بگیریم.

\(A^{-1} = \frac{1}{ a d – b c } \begin{bmatrix} d & – b\\ – c & a \end{bmatrix}\)

مخرج کسر فوق، یعنی ad-bc به دترمینان ماتریس دو در دو ماتریس A موسوم است که آن را با نماد \(| A |\) نمایش می‌دهند. با توجه به این نماد گذاری، وارون ماتریس A یا به عبارتی ماتریس \(A^{-1}\) به صورت زیر نتیجه می‌شود.

\(A^{-1} = \frac{1}{| A | } \begin{bmatrix} d & – b\\ – c & a \end{bmatrix}\)

حال با توجه به دترمینان ماتریس باید توانید حدس بزنید که چرا در جملات پیشیش، جمله (در صورت وجود) را بیان می‌کردیم. در واقع اگر دترمینان ماتریس صفر باشد، ماتریس وارون پذیر نیست. پس شرط لازم و کافی برای اینکه  وجود داشته باشد (یعنی ماتریس وارون پذیر باشد)، باید داشته باشیم:

\(| A | \neq 0\)

مثال

 ماتریس A را به فرم زیر در نظر بگیرید. وارون وارون ماتریس A، یعنی \((A^{-1})^{-1}\) را محاسبه کنید.

\(A = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 4 & 1 \end{bmatrix}\)

\(| A | = (2 \times 4) – (3 \times 1) = 5\)

\(A^{-1} = \frac{1}{5 } \begin{bmatrix} 4 & -3\\ -1 & 2 \end{bmatrix}\)

\(\large A^{-1} = \frac{1}{5 } \begin{bmatrix} 4 & -3\\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{5} & \frac{-3}{5}\\ \frac{-1}{5} & \frac{2}{5} \end{bmatrix}\)

\(| A^{-1} | = (\frac{4}{5} \times \frac{2}{5}) – (\frac{-3}{5} \times \frac{-1}{5}) = \frac{1}{5}\)

\(\large (A^{-1})^{-1} = \frac{1}{ | A^{-1} |} \begin{bmatrix} \frac{2}{5} & \frac{3}{5}\\ \frac{1}{5} & \frac{4}{5} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 3\\ 1 & 4 \end{bmatrix} = A\)

پس نتیجه می‌گیریم که معکوس معکوس ماتریس (وارون وارون ماتریس) با خود ماتریس برابر است.

امیدواریم تا مقاله وارون ماتریس مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ضرب ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *