با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به قضیه کار و انرژی بپردازیم. مبحث کار و انرژی، موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است.
در این مقاله با ما همراه باشید تا موضوع کار و انرژی را در دو مبحث کار و انرژی جنبشی و کار و انرژی پتانسیل بررسی کنیم.
فهرست مطالب این نوشته
کار و انرژی جنبشی
در مقاله (کار نیروی ثابت – فیزیک دهم) دیدیم که اگر نیروی خالصی به یک جسم وارد شود و منجر به جابهجایی آن شود، کار کل انجام شده روی جسم می‌تواند مثبت و یا منفی باشد (\(W = (F \cos \theta ) d\)). به طور مثال به شکل زیر نگاه کنید.
شکل (۱) : کار انجام شده روی هواپیما مثبت است در نتیجه انرژی جنبشی آن افزایش یافته است.
در شکل فوق، نیروی موتور هواپیما هم‌جهت با جابهجایی است (یعنی ) و در نتیجه کار کل انجام شده روی هواپیما مثبت است. مشاهده می‌کنید که در این حالت سرعت هواپیما در حین جابهجایی بیشتر شده که به معنی افزایش انرژی جبنشی است.
حال به عنوان مثالی از کار منفی، به شکل زیر توجه کنید.
شکل (۲) : کار انجام شده روی ماشین مسابقه منفی است در نتیجه انرژی جنبشی آن کاهش یافته است.
در شکل فوق، چتر باز شده در پشت ماشین مسابقه، سبب افزایش نیروی اصطکاک شده که این نیرو در خلاف جهت جابهجایی ماشین مسابقه است (\(W = (F \cos 180 ) d\)). در نتیجه کار انجام شده توسط آن منفی بوده که در این حالت سرعت ماشین به دلیل وجود این نیرو اصطکاک (فرض کنید راننده پدال گاز را فشار نمی‌دهد.) پس از جابهجایی کمتر می‌شود. یعنی این کار انجام شده منفی باعث کاهش انرژی جنبشی ماشین مسابقه شده است.
با توجه به دو مثال فوق، می‌توان گفت که اگر کار مثبتی روی یک جسم انجام شود، به معنی دادن انرژی به جسم است و اگر کار منفی روی جسم انجام شود، به معنی گرفتن انرژی از آن است.
جمله فوق، تعریفی از قضیه کار و انرژی جنبشی است. پس می‌توان گفت که بین کار انجام شده روی یک جسم و تغییر انرژی جنبشی آن رابطه‌ای وجود دارد که به قضیه کار و انرژی موسوم است. این قضیه به زبان ریاضی به شکل زیر تعریف می‌شود:
\(W_{t} = K_{2} – K_{1}\)
همان‌طور که از رابطه فوق مشخص است، کل کار (\(W_{t}\)) انجام شده روی یک جسم (دادن انرژی یا گرفتن انرژی) با تغییر انرژی جنبشی آن در دو وضعیت \(K_{2}\) و \(K_{1}\) برابر است.
مطابق با رابطه فوق اگر \(K_{2} > K_{1}\) باشد، یعنی انرژی جنبشی پایانی بزرگتر از انرژی جنبشی آغاز باشد، کل کار انجام شده مثبت است (\(W_{t} > 0\)) که یعنی سرعت جسم در پایان جابهجایی مدنظر بیشتر از آغاز حرکت است. همچنین اگر \(K_{2} < K_{1}\) باشد، کار کل انجام شده منفی بوده که به معنی کاهش سرعت جسم پس از جابهجایی است.
حال به نظر شما اگر کار کل صفر باشد (\(W_{t} = 0\))، چه نتیجه‌ای می‌توان گرفت؟ در این حالت طبق فرمول قضیه کار و انرژی جنبشی، باید \(K_{2} = K_{1}\) باشد. یعنی سرعت جسم در دو نقطه مد نظر یکسان است.
لازم به ذکر است که قضیه کار و انرژی جبنشی، نه تنها برای یک مسیر مستقیم بلکه برای یک مسیر حرکت خمیده نیز معتبر است. در واقع قضیه کار و انرژی جنبشی، مستقل از مسیر حرکت است.
اثبات قضیه کار و انرژی
در مقاله (حرکت با شتاب ثابت – فیزیک دوازدهم) با رابطه‌ای جهت محاسبه سرعت یک جسم که مستقل از زمان بود، آشنا شدیم. این رابطه به صورت زیر است:
\(v_{2}^{2} – v_{1}^{2} = 2 a d\)
در رابطه فوق، d جابهجایی، a شتاب حرکت جسم، و v سرعت در دو نقطه مد نظر مسئله است. حال به سراغ قانون دوم نیوتن می‌رویم.
\(F = m a\)
در رابطه فوق، a شتاب حرکت جسم، m جرم جسم و F نیروی خالص وارد شده به جسم است. حال برای اثبات قضیه کار و انرژی به سادگی کافی است از دو رابطه‌ای که عنوان کردیم در رابطه کار استفاده کنیم. یعنی:
\(W_{t} = F d = ( m a )( \frac{v_{2}^{2} – v_{1}^{2}}{2a})\)
\(W_{t} = \frac{1}{2} m v_{2}^{2} – \frac{1}{2} m v_{1}^{2} = K_{2} – K_{1}\)
کار و انرژی پتانسیل
همان‌طور که می‌دانید، منظور از انرژی پتانسیل، انرژی ذخیره‌ای است و بر خلاف انرژی جنبشی که یه حرکت یک جسم وابسته است، ویژگی یک سامانه (سیستم) است تا ویژگی یک جسم منفرد. می‌توان گفت که انرژی پتانسیل به مکان اجسام یک سامانه (سیستم) از یکدیگر بستگی دارد. هر سامانه می‌تواند دست کم از دو جسم یا تعداد بسیار بیشتری از اجسام تشکیل شده باشد. سه انرژی پتانسیل معروف به قرار زیر هستند:
- انرژی پتانسیل گرانشی
- انرژی پتانسیل کشسانی
- انرژی پتانسیل الکتریکی
منظور از کلمه ذخیره‌ای که در فوق به کار بردیم، این است که به طور مثال، اگر شما در بالای یک سکوی پرش استخر قرار بگیرید، بسته به ارتفاع، انرژی پتانسیل گرانشی شما تغییر می‌کند. در اینجا سامانه یا سیستم، جسم شما و زمین است. به عبارتی هرچه شما از سطح زمین فاصله بگیرید، انرژی پتانسیل گرانشی شما تغییر می‌کند. طبق رابطه انرژی پتانسیل گرانشی (\(U = mgh\))، هرجه ارتفاع بیشتر باشد، انرژی پتانسیل (ذخیره‌ای) بیشتر می‌شود.
هنگامی که انرژی پتانسیل یک سامانه (سیستم) کاهش پیدا می‌کند، این انرژی به شکل‌های دیگر انرژی تبدیل می‌شود. به طور مثال اگر شما از یک سکوی پرش ایستاده باشید دارای انرژی پتانسیل گرانشی هستید، وقتی به درون استخر شیرجه می‌زنید، انرژی پتانسیل گرانشی شما (به عبارت بهتر، انرژی پتانسیل سامانه زمین – شخص شما) به تدریج کاهش و به انرژی جنبشی تبدیل می‌شود. در واقع شما با سرعت نسبتاً زیادی به سطح آب برخورد می‌کنید.
شکل (۳)
به عنوان مثالی دیگر، یک جسمی را که روی یک فنر فشرده قرار گرفته است را در نظر بگیرید. با رها کردن فنر، انرژی پتانسیل کشسانی فنر به انرژی جبنشی جسم تبدیل می‌شود که در نتیجه جسم با سرعت زیادی پرتاب می‌شود.
شکل (۴)
همچنین وقتی به یک گوی باردار آویزان از یک نقطه، جسمی باردار را نزدیک کنیم، بسته به علامت و مقدار بار این دو جسم، انرژی پتانسیل الکتریکی این سامانه (دو جسم باردار) تغییر می‌کند.
شکل (۵)
انرژی پتانسیل گرانشی
همان‌طور که پیش‌تر بیان کردیم، انرژی پتانسیل گرانشی به صورت زیر محاسبه می‌شود.
\(U = mgh\)
به نظر شما رابطه فوق، چه ارتباطی به فرمول کار ؟ می‌دانیم که ماهیت کار، انرژی (واحد ژول) است. طبق رابطه \(W = (F \cos \theta) d\) که در آن F نیروی وارد بر جسم و d جابهجایی است، به راحتی می‌توان پی برد که رابطه انرژی پتانسیل گرانشی دقیقاً همان رابطه کار است.
در اینجا mg نیروی وزن بوده و h همان جابهجایی است. در واقع چون جابهجایی در راستای عمود است، آن را ارتفاع در نظر گرفته و با h نمایش می‌دهند. با توجه به این توضیحان، فرض کنید که یک توپ به جرم m از ارتفاع \(h_{i}\) در راستای قائم به سمت بالا پرتاب می‌شود. بدیهی است که سرعت توپ به تدریج کاهش پیدا کرده تا در بالاترین ارتفاع ممکن \(h_{f}\) به صفر برسد. پس از اینکه توپ به بالاترین ارتفاع رسید، سرعت آن صفر شده (لحظه‌ای می‌ایستد) و تغییر جهت داده تا سقوط کند.
شکل (۶)
پس کار نیروی وزن در این جابهجایی (\(h_{i}\) تا \(h_{f}\)) به صورت زیر محاسبه می‌شود:
\(W = (F \cos \theta) d = mg \cos180 (h_{f} – h_{i})\)
\(\rightarrow W = – (mgh_{f} – mgh_{i})\)
\(\rightarrow W = – (U_{f} – U_{i}) = – \Delta U\)
پس کار نیروی وزن برابر با منفی تغییرات انرژی پتانسیل گرانشی است. گرچه رابطه فوق، برای مثال پرتاب توپ به سمت بالا به دست آمد، ولی برای هر جابهجایی دلخواهی قابل استفاده است. به طور مثال برای رها کردن توپ نیز داریم (محاسبه کار نیروی وزن):
شکل (۷)
\(W = (F \cos \theta) d = (mg \cos 0) (h_{1} – h_{2})\)
\(\rightarrow W = mgh_{1} – mgh_{2} = – (mgh_{2} – mgh_{1})\)
\(\rightarrow W = – (U_{2} – U_{1}) = – \Delta U\)
زاویه صفر درجه به این دلیل است که جهت نیروی وزن با جهت حرکت هم‌راستا (هر دو به سمت پایین) است. توجه به علامت منفی در این رابطه بسیار مهم است.
- اگر جسم به سمت پایین حرکت کند، کار نیروی وزن روی جسم مثبت است، چرا که انرژی جبنشی جسم در حال سقوط بیشتر می‌شود. همچنین ارتفاع (h) کاهش پیدا کرده و در نتیجه انرژی پتانسیل گرانشی کاهش می‌یابد.
- اگر جسم به سمت بالا حرکت کند، کار نیروی وزن روی جسم منفی است، چرا که انرژی جنبشی جسم در پرتاب به سمت بالا کاهش پیدا می‌کند. همچنین ارتفاع (h) افزایش پیدا کرده و در نتیجه انرژی پتانسیل گرانشی افزایش می‌یابد.
امیدواریم تا مقاله قضیه کار و انرژی مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در مقالات آینده وبلاگ بین جو (Binjo)، به حل مثال‌هایی از قضیه کار و انرژی خواهیم پرداخت. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.
میدان الکتریکی در داخل رسانا – فیزیک یازدهم (۲)
انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)
دیدگاهتان را بنویسید