با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به حل دستگاه معادلات خطی (دو معادله دو مجهول) با ماتریس وارون بپردازیم.
قبل از مطالعه این مقاله پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر به عنوان پیش‌نیاز داشته باشید. در صورتی که با مفهوم ماتریس و ماتریس وارون آشنا هستید، می‌توانید از این مقالات عبور کنید.
حل دستگاه دو معادله دو مجهول
یکی از کاربردهای ماتریس وارون حل دستگاه‌های معادلات خطی است. در این مقاله متناسب با سطح کتاب هندسه ۳، تنها به حل دستگاه دو معادله دو مجهول با استفاده از ماتریس وارون می‌پردازیم.
اجازه دهید که با یک مثال، با روش حل دستگاه دو معادله دو مجهول به کمک ماتریس وارون آشنا شویم. ابتدا دستگاه دو معادله دو مجهول زیر را در نظر بگیرید.
\(\left\{\begin{matrix} 2 x + y = 4 \\ 7 x + 4 y = 15 \end{matrix}\right.\)
حال به نظر شما با استفاده از مفهوم ماتریس چگونه دستگاه فوق را به صورت ماتریسی نشان دهیم؟ پاسخ ساده است، سمت چپ تساوی دو معادله، یک ماتریس و سمت راست یک ماتریس. یعنی:
\(\begin{bmatrix} 2 x + y \\ 7 x + 4y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 15 \end{bmatrix}\)
ماتریس سمت چپ یک ماتریس دو در یک است که دو مجهول x و y را در دل خود دارد. به نظر شما چگونه دو مجهول x و y را در قالب یک ماتریس جداگانه بنویسیم؟
از آنجایی که ماتریس سمت چپ در بالا، یک ماتریس دو در یک است، با استفاده از مفهوم ضرب ماتریس به راحتی می‌توانیم این کار را انجام دهیم. همان‌طور که می‌دانیم ضرب یک ماتریس \(۲ \times 2\) در یک ماتریس \(۲ \times 1\)، یک ماتریس \(۲ \times 1\) نتیجه می‌دهد. یعنی:
\(\begin{bmatrix} 2 x + y \\ 7 x + 4y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\)
پس داریم:
\(\begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 15 \end{bmatrix}\)
معادله فوق به معادله ماتریسی دستگاه دو معادله دو مجهول مفروض است. لازم به ذکر است که ماتریس \(A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 7 & 4 \end{bmatrix}\) به ماتریس ضرایب موسوم است.
حال بررسی می‌کنیم که آیا ماتریس A وارون پذیر هست یا خیر. این کار با بررسی شرط انجام می‌شود.
\(| A | \neq 0\)
\(| A | = (2 \times 4) – (1 \times 7) = 1\neq 0\)
پس وارون ماتریس ضرایب A به صورت زیر است.
\(A^{-1} = \frac{1}{|A|}\begin{bmatrix} 4 & -1\\ -7 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1\\ -7 & 2 \end{bmatrix}\)
حال با ضرب وارون ماتریس ضرایب A یعنی ضرب ماتریس \(A^{-1}\) در طرفین معادله ماتریسی خواهیم داشت:
\(\begin{bmatrix} 4 & -1\\ -7 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 & 1\\ 7 & 4 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & -1\\ -7 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ 15 \end{bmatrix}\)
می‌دانیم که ضرب یک ماتریس در وارون خودش به ماتریس همانی I منجر می‌شود. یعنی:
\(A A^{-1} = A^{-1} A = I\)
پس با توجه رابطه فوق و انجام ضرب ماتریس سمت راست معادله ماتریسی خواهیم داشت:
\(\begin{bmatrix} 4 & -1\\ -7 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 4\\ 15 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix}\)
\(\Rightarrow \begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1\\ 2\end{bmatrix} \Rightarrow \left\{\begin{matrix} x = 1\\ y =2 \end{matrix}\right.\)
از روند فوق نتیجه زیر را می‌گیریم:
در حالت کلی اگر \(A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}\) ماتریس ضرایب، \(X = \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}\) ماتریس مقادیر مجهول و \(B = \begin{bmatrix} e_{1} \\ e_{2} \end{bmatrix}\) ماتریس مقادیر معلوم دستگاه دو معادله دو مجهول زیر باشند:
\(\left\{\begin{matrix} a x + b y = e_{1}\\ c x + d y = e_{2} \end{matrix}\right.\)
آنگاه دستگاه معادله فوق را می‌توان به فرم معادله ماتریسی زیر نوشت:
\(A X = B\)
در صورتی که ماتریس ضرایب A وارون پذیر باشد، یعنی \(| A | \neq 0\)، با ضرب طرفین معادله ماتریسی در \(A^{-1}\) خواهیم داشت:
\(A X = B \rightarrow A^{-1} A X = A^{-1} B \rightarrow I X = A^{-1} B \Rightarrow X = A^{-1} B\)
حال به نظر شما اگر دترمینان ماتریس ضرایب صفر باشد، آیا دستگاه دو معادله دو مجهول جوابی دارد ؟ جهت پاسخ به این سوال، مثال زیر را در نظر بگیرید.
\(\left\{\begin{matrix} 2 x -7 = 4\\ -4 x + 2 y = 2 \end{matrix}\right.\)
دستگاه فوق به شکل ماتریسی به فرم زیر است.
\(\begin{bmatrix} 2 & -1\\ -4 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4\\ 2 \end{bmatrix}\)
\(| A | = ( 2 \times 2) – ( -4 \times -1 ) = 0\)
مشاهده می‌کنید که دترمینان ماتریس A برابر با صفر بوده و در نتیجه نمی‌توان برای آن ماتریس وارون را نوشت. با کمی دقت به دستگاه دو معادله دو مجهول که در واقع دو معادله خط هستند، متوجه می‌شویم که این دو خط موازی بوده (آن‌‌ها را رسم کنید!) و هیچ نقطه مشترکی با یکدیگر ندارند. در این حالت بدیهی است که دستگاه جوابی نیز نخواهد داشت.
هدف از حل یک دستگاه دو معادله دو مجهول، پیدا کردن x و yیی است که در هر دو معادلۀ دستگاه که هرکدام معادلۀ یک خط هستند، صدق کند و تعبیر هندسی حل دستگاه دو معادله و دو مجهول پیدا کردن مختصات محل برخورد دو خط است.
پس به طور کلی، یک دستگاه خطی دو معادله دو مجهول از دو معادله تشکیل شده است که هر یک معادله یک خط هستند. در نتیجه از دیدگاه هندسی، همانند مثال فوق نیز می‌توانیم درباره دستگاه دو معادله دو مجهول بحث کنیم. دستگاه زیر را در نظر بگیرید:
\(\left\{\begin{matrix} a x + b y = c\\ a’ x + b’ y = c’ \end{matrix}\right.\)
اگر داشته باشیم:
\(\frac{a}{a’} \neq \frac{b}{b’}\)
در این صورت دو خط متقاطع بوده و دستگاه دارای یک جواب یکتا است.
اگر داشته باشیم:
\(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’}\)
در این صورت دو خط موازی بوده که برای این مورد دو حالت وجود دارد:
اگر \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} \neq \frac{c}{c’}\)، دو خط موازی بوده و هیچ نقطه مشترکی ندارند و در نتیجه دستگاه نیز هیچ جوابی نخواهد داشت.
اگر \(\frac{a}{a’} = \frac{b}{b’} = \frac{c}{c’}\)، دو خط موازی بوده و روی یکدیگر قرار گرفته‌اند. در نتیجه دستگاه بی‌شمار جواب دارد. یعنی هر نقطه‌ای که در یکی از معادلات صدق کند، در دیگری نیز صدق می‌کند.
جمع‌بندی:
- اگر دترمینان ماتریس ضرایب مخالف صفر باشد (امکان تعریف وارون)، دستگاه دو معادله دو مجهول یک جواب منحصر به فرد دارد. به عبارتی دو خط متقاطع‌اند.
- اگر باشد، دستگاه یا فاقد جواب است (دو خط موازی) یا بی‌شمار جواب دارد (دو خط روی یکدیگر).
امیدواریم که این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.
انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)
دیدگاهتان را بنویسید