پایستگی انرژی مکانیکی – فیزیک دهم (۱)

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث پایستگی انرژی مکانیکی از کتاب فیزیک دهم (۱) بپردازیم. پایستگی انرژی مکانیکی موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است. در ادامه این مقاله با ما همراه باشید.

پایستگی انرژی مکانیکی

در مقاله (کار نیروی ثابت) با مفهوم کار آشنا شدیم. همچنین در مقاله (کار و انرژی) با مباحثی نظیر کار و انرژی جنشی و کار و انرژی پتانسیل آشنا شدیم و به طور خاص کار نیروی وزن را محاسبه کردیم. پیشنهاد می‌کنیم تا قبل از مطالعه این مقاله، نگاهی بر دو مقاله معرفی شده داشته باشید.

حال فرض کنید که جسمی در حال سقوط به سمت زمین باشد.

شکل (۱)

اگر از نیروی مقاومت هوا صرف نظر کنیم، تنها نیروی وزن به جسم وارد می‌شود. تصویر زیر قسمتی از این سقوط را نشان می‌دهد که از نقطه ۱ تا ۲، انرژی جنبشی آن از \(K_{1}\) به \(K_{1}\) و انرژی پتانسیل گرانشی آن از \(U_{1}\) به \(U_{2}\) تغییر کرده است. می‌دانیم که کار نیروی وزن هنگام این جابه‌جایی از نقطه ۱ به ۲ به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\(W_{weight} = – \Delta U = – ( U_{2} – U_{1})\)

با توجه به اینکه از نیروی مقاومت هوا صرف نظر کردیم، در طول مسیر تنها نیروی وزن به جسم وارد شده و در نتیجه کل کار انجام شده روی جسم برابر با کار نیروی وزن است. از طرفی می‌دانیم که کل کار انجام شده بر اساس قضیه کار و انرژی به صورت زیر است:

\(W_{weight} = W_{total}\)

\(W_{total} = K_{2} – K_{1}\)

با توجه به مطالب فوق می‌توان نتیجه گرفت که کل کار انجام شده روی جسم که در اینجا کار نیروی وزن جسم بود، برابر با اختلاف انرژی جنبشی جسم است. یعنی:

\(W_{weight} = K_{2} – K_{1}\)

\(– (U_{2} – U_{1}) = K_{2} – K_{1}\)

با بازنویسی رابطه فوق داریم:

\(K_{1} + U_{1} = K_{2} + U_{2}\)

بیان فیزیکی رابطه فوق این است که مجموع انرژی جنبشی و پتانسیل جسم در نقاط مختلف مسیر باهم برابر است. به طور مثال در شکل فوق، در نقطه یک انرژی پتانسیل گرانشی بیشتر (ارتفاع بیشتر) و انرژی جنبشی کمتر است (سرعت کمتر) و در نقطه دو انرژی پتانسیل گرانشی کمتر (ارتفاع کمتر) و انرژی جبشی بیشتر (سرعت بیشتر) است. به طوری که جمع آن‌ها با یکدیگر برابر است.

به عبارتی می‌توان گفت که انرژی پتانسیل به انرژی جنبشی جسم تبدیل شده است. لازم به ذکر است که مجوع انرژی‌های پتانسیل و جبنشی هر جسم به انرژی مکانیکی موسوم است که عموماً آن را با نماد E نمایش می‌دهند.

\(E = K + U\)

در شکل (۱) با نادیده گرفتن نیروی مقاومت هوا، انرژی مکانیکی در تمام مسیر مقدار ثابتی دارد و در نتیجه پایسته است. یعنی برای هر نقطه دلخواه در طول مسیر اگر انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی آن را با هم جمع کنیم به مقدار ثابت E خواهیم رسید.

\(E_{1} = E_{2}\)

توجه داشته باشید که اصل پایستگی انرژی مکانیکی تنها در شرایطی کاربرد دارد که بتوان از اصطکاک و مقاومت هوا چشم‌پوشی کرد.

مثال

برای این که درک بهتری از اصل پایستگی انرژی مکانیکی داشته باشیم به شکل زیر دقت کنید.

در شکل فوق، چهار وضعیت متفاوت برای حرکت یک جسم به جرم m نمایش داده شده است. در وضعیت الف، جسم ار حالت سکون (یعنی بدون سرعت اولیه، \(v_{A} = 0\)) سقوط می‌کند (با صرف نظر از مقاومت هوا). در سه وضعیت دیگر، جسم از حال سکون روی مسیر‌هایی بدون اصطکاک رو به پایین حرکت می‌کند.

حال می‌خواهیم تندی یا سرعت جسم را در نقطه B برای این چهار وضعیت با یکدیگر مقایسه کنیم. با توجه به شکل، نقاط A با هم و نقاط B باهم برای هر چهار وضعیت هم‌تراز هستند. یعنی جسم در هر چهار حرکت ارتفاع یکسانی (عمودی) را طی می‌کند.

از آنجایی که نقاط B هم‌تراز هستند، پس انرژی پتانسیل گرانشی نقطه B در هر چهار وضعیت برابر است. همچنین انرژی پتانسیل گرانشی نقطه A نیز در هر چهار وضعیت برابر است. از آنجایی که جسم در هر چهار وضعیت از حال سکون حرکت کرده است پس در نقطه A انرژی چنبشی هر چهار وضعیت صفر است. در نتیجه‌:

\(v_{A} = 0 \rightarrow K_{A} = 0\)

\(E_{A} = K_{A} + U_{A} \rightarrow E_{A} = U_{A}\)

\(E_{B} = K_{B} + U_{B}\)

با توجه به اصل پایستگی انرژی مکانیکی که بیان می‌کند مقدار انرژی مکانیکی هر دو نقطه دلخواه در مسیری بدون اصطکاک و مقاومت هوا با یکدیگر برابر است، نتیجه می‌گیریم که انرژی جبنشی جسم در نقطه B باید برای هر چهار وضعیت یکسان باشد.

\(E_{A} = E_{B}\)

\(U_{A} = U_{B} + K_{B}\)

توجه کنید که وضعیت جسم از حیث ارتفاع (عاملی که در انرژی پتانسیل گرانشی مهم است) در هر چهار وضعیت، یکسان هستند. و این مهم نیست که جسم مثلاً مسافت طولانی‌تری در حالت (ت) طی کرده است.

پایستگی انرژی مکانیکی در فنر

به طور کل، اصل پایستگی انرژی مکانیکی نه تنها برای انرژی جنبشی و پتانسیل گرانشی بلکه برای انرژی جنبشی و سایر انرژی‌های پتانسیل نظیر انرژی پتانسیل کشسانی صادق است. به طور مثال به شکل زیر دقت کنید.

در شکل فوق، جسمی به جرم m به یک فنر با سختی k متصل است و روی یک سطح بدون اصطکاک قرار گرفته است. جسم را تا نقطه A کشیده و سپس رها می‌کنیم. با توجه به اینکه مجموعه انرژی جبنشی جسم و انرژی پتانسیل کشسانی فنر را انرژی مکانیکی مجموعه جسم و فنر می‌گوییم، با استفاده از اصل پایستگی انرژی مکانیکی حرکت جسم را توصیف می‌‌کنیم.

توجه داشته باشید که در اینجا حتی نیاز نیست که بدانیم انرژی پتانسیل کشسانی از چه فرمولی محاسبه می‌شود! تنها کافی است که از اصل پایستگی انرژی مکانیکی برای نقاط دلخواه استفاده و حرکت جسم را تحلیل کنیم.

ابتدا جسم متصل به فنر را تا نقطه A می‌کشیم. در نقطه A جسم در حال سکون است یعنی سرعت اولیه‌ای نداشته و در نتیجه انرژی جنبشی آن صفر است. از طرفی از آنجایی که جسم به فنر متصل است با کشیدن آن تا نقطه A در آن انرژی پتانسیل کشسانی ذخیره می‌شود. پس انرژی مکانیکی (مجموع انرژی پتانسیل و جبنشی) در نقطه A به صورت زیر است:

\(v_{A} = 0 \rightarrow K_{A} = 0\)

\(E_{A} = K_{A} + U_{A} \rightarrow E_{A} = U_{A}\)

حال جسم را رها می‌کنیم، جسم متصل به فنر حرکت نوسانی انجام داده و مشاهده می‌شود که از نقطه O عبور می‌کند. نقطه O جایی است که فنر نه کشیده شده است و نه فشرده، پس انرژی پتانسیل کشسانی در نقطه O صفر است. این امر از فرمول انرژی پتانسیل کشسانی نیز قابل برداشت است.

\(U_{elastic} = \frac{1}{2} k x^{2}\)

در رابطه فوق، k سختی فنر و x مقدار جابه‌جایی است و از آنجایی که در نقطه O مقدار x صفر است، انرژی پتانسیل کشسانی نیز صفر است. البته همان‌طور که گفته شد برای تشریح این سوال نیازی به دانشتن فرمول \(U_{elastic} = \frac{1}{2} k x^{2}\) نیست.

طبق اصل پایستگی انرژی مکانیکی‌، از آنجایی که انرژی پتانسیل کشسانی در نقطه O صفر است، پس انرژی جبنشی در این نقطه باید بیشینه باشد. در واقع انرژی پتانسیل کشسانی در نقطه A تماماً به انرژی جنشی در نقطه O تبدیل شده است.

وقتی جسم از نقطه O عبور کرده و در اصل فنر فشرده می‌شود همین قضایا برقرار هستند. وقتی فنر فشرده شود، در نقطه A- (نهایت فشردگی) باز انرژی جنبشی صفر بوده و انرژی پتانسیل کشسانی بیشینه است که با حرکت جسم، این دو انرژی مدام به یکدیگر تبدیل می‌شوند.

امیدواریم تا مقاله پایستگی انرژی مکانیکی مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

آونگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)