نسبت های مثلثات

مثلثات – ریاضی دهم (۱)

زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث مثلثات در کتاب ریاضی دهم (۱) بپردازیم. مبحث مثلثا‌ت موضوعی مشترک برای هر دو رشته ریاضی و تجربی است. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

فهرست مطالب این نوشته

مثلثات

مثلثات شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی روابط بین زوایا و اضلاع یک مثلث می‌پردازد. یکی از اهداف این علم، اندازه‌گیری فاصله‌ها به صورت غیرمستقیم است. مثلثا‌ت در علوم مهندسی، فیزیک، نقشه برداری، دریانوردی، نجوم و غیره کاربرد دارد.

برای توضیح مفاهیم مثلثاتی باید ابتدا با مفهوم تشابه آشنا شویم؛ هرگاه دو زاویه از مثلثی، با دو زاویه از مثلثی دیگر برابر باشند، آن دو مثلث، متشابه اند.

مثلث زیر را در نظر بگیرید. در این شکل قصد داریم نسبت های مثلثاتی را تعریف کنیم :

مثلث قائم الزاویه

در مثلث قایم الزاویه بالا، ۳ زاویه به نام های A و B و C داریم که در مقابل هرکدام از زاویه‌ها، یک ظلع قرار دارد. یعنی در مقابل زاویه A ، ضلع BC، در مقابل زاویه B ضلع AC و در مقابل زاویه C ضلع AB قرار گرفته است. لازم به ذکر است که به ضلع AC از از مثلث قایم الزاویه، وتر می‌گویند.

حال به تعریف نسبت های مثلثاتی برای زاویه A می پردازیم (برای هرکدام از زوایای A و B می توانیم نسبت های مثلثاتی را بنویسیم)‌:

تعریف سینوس‌: نسبت ظلع مقابل زاویه به وتر

\(Sin (A) = \frac{BC}{AC}\)

تعریف کسینوس‌: نسبت ظلع مجاور زاویه به وتر

\(Cos (A) = \frac{AB}{AC}\)

تعریف تانژانت: به نسبت سینوس به کسینوس یک زاویه تانژانت گویند. پس از ساده کردن این نسبت، به نسبت ضلع مقابل زاویه به ضلع مجاور زاویه می‌رسیم.

\(tan (A) = \frac{sin(A)}{cos(A)} = \frac{BC}{AB}\)

تعریف کتانژانت‌: نسبت کسینوس به سینوس یک زاویه (دقیقاً برعکس تانژانت)، پس از ساده کردن این نسبت، به نسبت ضلع مجاور زاویه به ضلع مقابل زاویه می رسیم (دقیقا برعکس تانژانت).

\(cot(A) = \frac{1}{tan (A)} =\frac{cos(A)}{sin(A)}= \frac{AB}{BC}\)

برای یادگیری بهتر مطالب بالا، مثال زیر را در نظر بگیرید :

مثال

نسبت های مثلثاتی زاویه A و C را در شکل زیر محاسبه کنید.

مثلث قایم الزاویه

به ترتیب مراحل توضیح داده شده در بالا، جلو می رویم‌. ابتدا برای زاویه A داریم:

\(Sin (A) = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8\)

\(Cos (A) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6\)

\(tan (A) = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3}\)

\(cot(A) = \frac{1}{tan (A)} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} = 0.75\)

حال به محاسبه نسبت های مثلثاتی زاویه B می پردازیم:

\(Sin (C) = \frac{AB}{AC} = \frac{3}{5} = 0.6\)

\(Cos (C) = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{5} = 0.8\)

\(tan (C) = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{4} = 0.75\)

\(cot(C) = \frac{1}{tan (C)} = \frac{BC}{AB} = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \)

استفاده دیگری که از نسبت‌های مثلثاتی می توان کرد، محاسبه مساحت مثلث‌ها است. در هر مثلث، با معلوم بودن مقادیر طول دو ضلع مثلث و اندازهٔ زاویهٔ بین آنها داریم :

مثلث

\(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB\times BC\times Sin(B)\)

مثال

مساحت مثلث زیر را بیابید (زاویه B برابر است با ۳۰ درجه)

مثال مثلثات

فرمول مساحت مثلث را می نویسیم:

\(S_{ABC} = \frac{1}{2}AB\times BC\times Sin(B)\)

اعداد را در فرمول بالا جاگذاری می کنیم (‌میدانیم که سینوس زاویه ۳۰ درجه برابر ۰.۵ است) :

\(S_{ABC} = \frac{1}{2}\times6\times 5\times Sin(30) = \frac{1}{2}\times6\times 5\times \frac{1}{2} = \frac{30}{4} = 7.5\)

مقدار سینوس زاویه

دایره مثلثاتی

دایره‌ای به شعاع ۱ واحد و به مرکز مبدا مختصات را دایره مثلثاتی می‌گویند. حرکت روی دایره مثلثاتی در جهت پادساعت‌گرد است.

نکته‌: حرکت در جهت عقربه‌های ساعت را زاویه منفی در نظر می‌گیریم و حرکت در جهت عکس عقربه های ساعت را زاویه مثبت در نظر می‌گیریم.

دایره مثلثاتی

به عنوان مثال زاویه زیر از حرکت دادن ۹۰ درجه  نشانک در جهت ساعتگرد به وجود آمده و منفی است.

زاویه منفی

اگر به دایره مثلثاتی خوب دقت کنید، متوجه می‌شوید که محور‌های مختصات این دایره را به ۴ قسمت مساوی تقسیم کرده‌اند. به هرکدام از این بخش‌ها یک ربع مثلثاتی یا یک ناحیه گفته می‌شود.

نواحی دایره مثلثاتی

نکته جالبی که وجود دارد و ما به ان اشاره خواهیم کرد، تمام نسبت‌های مثلثاتی که در بالاتر اشاره شد، در این دایره کوچک جاسازی شده است! ما این نسبت ها را در شکل زیر به نمایش گذاشته ایم.

نسبت های مثلثاتی

همانطور که در شکل بالا مشاهده می کنید، چهار نسبت مثلثاتی به خوبی مشخص شده‌اند. نکته دیگری که در مورد روابط مثلثاتی وجود دارد، این است که شیب خط ،برابر است با تانژانت زاویه‌ای که خط با جهت مثبت محور طول ها می سازد.

شیب خط = tan (زاویه ای که خط با جهت مثبت محور طول‌ها می سازد)

مثال

شیب خط زیر را بیابید.

شیب خط و تانژانت

حل) برای بدست آوردن شیب خط، طبق فرمول بالا عمل میکنیم و می‌دانیم که شیب خط برابر تانژانت زاویه آلفا است. پس کافی است برای بدست اوردن شیب خط، تانژانت زاویه آلفا را بیابیم که بصورت زیر است‌:

\(tan (\alpha ) = \frac{3}{4} = 0.75\)

امیدواریم تا مقاله مثلثات مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

تابع چیست؟ – ریاضی دهم (۱)

معادله درجه دوم – ریاضی دهم (۱)

پایستگی انرژی مکانیکی – فیزیک دهم (۱)

قضیه کار و انرژی – فیزیک دهم (۱)

 

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *