مجموعه

مجموعه – ریاضی دهم (۱)

زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به معرفی مجموعه از کتاب ریاضی دهم بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

مجموعه

انسان‌ها در طول تاریخ، برحسب نیاز از مجموعه های متفاوتی استفاده کرده‌اند. در سال‌های قبل با برخی از این مجموعه‌‌ها با نام های مجمو‌عه اعداد طبیعی، مجموعه اعداد حسابی، مجمو‌عه اعداد صحیح، گویا، گنگ و … آشنا شدید. زیر مجموعه بودن را با علامت \(\subseteq\) نمایش می‌دهند.

به مثال زیر دقت کنید‌:

\(N \subseteq W \subseteq Z \subseteq Q \subseteq R\)

به عبارتی، تمام مجمو‌عه اعدادی که تا کنون با آنها آشنا شدیم، زیر مجمو‌عه اعداد حقیقی‌اند.

مجموعه اعداد

اعداد حقیقی R بزرگترین مجموعه به حساب می‌آیند.

بازه

به زیر مجمو‌‌‌عه‌‌هایی که مشخص کننده یک قطعه از محور اعداد حقیقی باشد را بازه یا فاصله می‌نامیم. بازه در ریاضیات از اهمیت بالایی برخوردار است.

اگر بازه، شامل ۲ نقطعه ابتدا و انتهای خود نیز باشد، آن را بازه بسته می‌نامیم. به مثال زیر نگاه کنید:

\(\left [ -1 , 2 \right ]\)

به بازه بالا، بازه بسته از ۱- تا ۲ می‌گویند. اگر دقت کنید اعداد داخل کروشه [] قرار گرفته‌اند. حال اگر بازه، شامل ۲ نقطعه ابتدا و انتهای خود نباشد، آن را بازه باز می‌نامیم. به مثال زیر نگاه کنید:

\(\left ( -1 , 2 \right )\)

بازه بالا را، بازه باز از ۱- تا ۲ گویند. چرا که اعداد ابتدا و انتهای بازه، جزو خود بازه نیستند.

نکته ۱ ‌: طول بازه \(\left ( a , b \right )\) برار است با :

\(b-a\)

نکته ۲ : در نمایش نموداری بازه‌ها، اگر بازه بسته باشد، نقاط ابتدا و انتهای بازه را تو پر رسم می کنیم و اگر بازه باز باشد، نقاط ابتدا و انتها را تو خالی رسم می‌کنیم.

بازه باز و بازه بسته

نمایشی بازه بسته و بازه باز

نکته ۳ : یک مجمو‌‌عه می‌تواند از یک طرف باز و از یک طرف بسته باشد. به مثال زیر توجه کنید‌:

\(\left ( a , b \right ]\)

این مجمو‌‌عه از طرف a باز است، ولی از طرف b بسته است.

نکته ۴ : ابتدا و یا انتهای یک مجمو‌‌‌عه می تواند بی‌نهایت باشد. به مثال زیر توجه کنید‌:

\(\left ( -\infty , b \right ]\)

در این مثال، بازه از سمت چپ، باز و بینهایت است و از سمت راست بسته شده است. و بازه را نیم باز گویند. توجه کنید که اگر بینهایت در هر طرف باشد، آن طرف علامت باز (یعنی نماد پرانتز) به خود می گیرد. عبارات زیر از نظر ریاضی غلط است‌:

\(\left ( -b ,\infty \right ]\)

\(\left [ -b ,\infty \right ]\)

مثال‌) اجتماع و اشتراک مجمو‌‌‌عه‌‌های زیر را بیابید:

\(\left [ -1 ,5 \right ]\)

\(\left ( -\infty ,3 \right ]\)

حل) ابتدا به اشتراک مجمو‌عه‌ها می پردازیم. در قسمت منفی‌ها، مجمو‌عه نیم باز دوم تمام اعداد را شامل می‌شود. پس اشتراک این ۲ مجموعه از سمت چپ برابر ۱- بسته است. در قسمت مثبت‌ها، مجموعه اول تمام اعداد مجمو‌عه دوم را شامل می‌شود. پس از طرف راست مجمو‌عه با عدد ۳ بسته مواجه می شود.

اشتراک این دو مجمو‌عه برابر است با : \(\left [ -1 ,3 \right ]\)

اما برای اجتماع، در قسمت منفی‌ها، مجمو‌عه نیم باز بزرگ‌تر است و تمام قسمت منفی مجمو‌عه اول را نیز شامل می‌شود. در قسمت مثبت‌ها هم مجمو‌عه اول بزرگتر است و تمام اعداد مثبت مجمو‌عه دوم را نیز شامل می‌شود.

پس اجتماع این دو مجمو‌عه برابر است با : \(\left ( -\infty ,5 \right ]\)

اشتراک مجموعه

نمایشی نموداری اشتراک دو مجموعه A و B که می‌شود: [latex](2,4][/latex]

مجموعه های متناهی و نامتناهی

به مجموعه اعدادی که تعداد اعضای آن قابل شمارش باشند، مجموعه متناهی گویند. در تعریف مجموعه نامتناهی، به مجمو‌عه اعدادی می‌گویند که قابل شمارش نیستند. برای مثال مجمو‌عه دانش آموزان کلاس دهم مدرسه شفاعت، قابل شمارش هستند پس، مجمو‌عه آن‌ها متناهی است. در مقابل، مجمو‌‌عه اعداد صحیح بزرگتر از ۲، غیر قابل شمارش هستند و بنابراین مجمو‌عه اعداد آن‌ها نامتناهی است.

تمرین‌) دو مجموعه متناهی و دو مجموعه نا‌متناهی نام ببرید

مجموعه مرجع

به مجمو‌عه‌‌ای که تمام مجمو‌عه‌های مورد بحث در یک مبحث، زیر مجمو‌عه آن هستند، مجموعه مرجع گفته می‌شود.

اگر کلاس‌های مدرسه شهید پندی را زیر مجموعه مدرسه شهید پندی در نظر بگیریم، مدرسه شهید پندی یک مجمو‌عه مرجع به حساب می‌آید.

متمم یک مجموعه

هر گاه U مجموعه مرجع باشد و مجموعه A زیر مجمو‌عه این مجمو‌عه باشد (به عبارت ریاضی: \(A\subseteq U\))، آنگاه \(U – A\) را متمم مجمو‌عه A می نامیم و آن را با نماد \(A’\) نمایش می دهیم. اگر بخواهیم دقیق‌تر بررسی کنیم، متمم یک مجمو‌عه شامل عضو‌هایی از مجمو‌‌عه مرجع می‌شود که در مجمو‌عه مورد نظر وجود ندارند.

مثال) در یک مدرسه ابتدایی، دانش آموزان کلاس اول دبستان را به عنوان یک مجمو‌عه در نظر بگیرید. حال به محاسبه مجموعه متمم آن بپردازید. (می دانیم که مجمو‌عه مدرسه، مجموعه مرجع می باشد)

حل) تمام دانش آموزان مدرسه به جز دانش آموزان کلاس اول، به عنوان متمم مجمو‌عه دانش آموزان کلاس اول در نظر گرفته می‌شوند.

متمم مجموعه

تعداد عضو های اجتماع دو مجموعه

به یاد دارید که برای نشان دادن عضو های یک مجموعه از نماد n استفاده می‌کردیم. به عبارت دقیق‌تر اگر A یک مجمو‌عه متناهی باشد، برای نشان دادن عضو‌های آن از عبارت n(A) استفاده می‌کنیم.

مثال) مجمو‌‌عه زیر را در نظر بگیرید و تعداد اعضای آن را بدست اورید.

\(A=\begin{Bmatrix} 1 , & 2 , & 3 \end{Bmatrix}\)

حل)

n (A) = 3

حال در این بخش پس از یادآوری بالا، می خواهیم به محاسبه تعداد عضو‌های اجتماع دو مجمو‌عه بپردازیم. توجه داشته باشید که به هر دو مجمو‌عه مانند A , B که فاقد عضو مشترکی باشند، دو مجمو‌عه جدا ازهم یا مجزا می‌گویند.

برای بدست آوردن تعداد اعضای اجتماع دو مجمو‌عه، باید تعداد اعضای دو مجمو‌عه را با هم جمع کنیم و عدد به دست آمده را از تعداد عضو‌های مشترک دو مجمو‌‌عه کم کنیم.

\(n(A\cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap /B)\)

مثال) تعداد اعضای مجمو‌عه اجتماع دو مجمو‌عه زیر را بیابید.

\(A=\begin{Bmatrix} 1 , & 2 , & 3 \end{Bmatrix}\)

\(B=\begin{Bmatrix} 1 , & 4 , & 5 \end{Bmatrix}\)

حل۱) با توجه به گفته های بالا، ابتدا تعداد عضو‌های هرکدام از این مجمو‌عه‌ها را بدست می آوریم.

n (A) = 3

n (B) = 3

n(A) + n(B) = 6

حال به محاسبه تعدا عضو های مشترک می پردازیم.

\(n(A\cap /B) = 1\)

بنابراین:

\(n(A\cup B) = n(A) + n(B) – n(A\cap /B) = 3 + 3 -1 = 5\)

حل۲) با استفاده از نمودار ون. این نمودار به هر یک از مجمو‌‌عه‌ها یک فضایی را اختصاص می دهد و سپس به محاسبات می پردازد. برای استفاده از نمودار ون ابتدا دو دایره رسم می کنیم که با یکدیگر در قسمتی همپوشانی داشته باشند. بعد به دو مجموعه نگاه می کنیم و اگر عدد مشترکی داخل دو مجمو‌‌‌عه دیددیم، در بین دو دایره در محل هم پوشانی قرار می‌دهیم.

نمودار ون

مثالی از نمودار ون

سپس به چینش مابقی اعداد در دایره می پردازیم. در مثال بالا عدد ۱ در هر دو مجمو‌عه مشترک بوده بنابراین بین دو مجمو‌عه و در قسمت همپوشانی شده قرار می‌گیرد. حال به شمارش اعداد داخل نمودار ون می‌پردازیم که به عدد ۵ میرسیم.

نکته : نمودار ون برای هرتعداد مجمو‌عه‌ای می تواند استفاده شود. نه فقط برای ۲ مجمو‌عه.

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

مثلثات – ریاضی دهم (۱)

تابع چیست؟ – ریاضی دهم (۱)

معادله درجه دوم – ریاضی دهم (۱)

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *