الگو و دنباله – ریاضی دهم (۱)

زمان مطالعه: ۴ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به بررسی دنباله و الگو از کتاب ریاضی دهم (۱) بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

الگو

ا‌لگو‌‌ها در زندگی ما کاربرد های زیادی دارند. ممکن است ما در طول روز بارها از ا‌لگو‌ها استفاده کنیم بدون اینکه توجه خاصی به آن کرده باشیم! به شکل زیر نگاه کنید:

الگو و دنباله

ابتدا یک نقطه داشتیم. در مرحله بعد تعداد نقاط ما به ۳ عدد رسید. همین‌طور به تعداد نقطه های ما اضافه شد و درنهایت ۱۵ نقطه در تصویر آخر داریم. مجموعه نقاط تصویر بالا، ا‌لگوی خاصی را دنبال می کنند. آیا  می توانید رابطه بین این اعداد (تعداد نقاط) را بیابید؟ به عبارتی می‌توانید یک الگو برای روند شکل فوق بیابید؟

اعداد یک دنباله را معمولا با حرف a و با اندیس‌هایی که از ۱ شروع می شود، نشان می دهند (متغیر های اندیس دار). برای تصویر بالا، جملات الگو به صورت زیر می باشد :

\(a_{1} = 1\)

\(a_{2} = 3\)

\(a_{3} = 6\)

\(a_{4} = 10\)

\(a_{5} = 15\)

با کمی دقت می‌توانیم رابطه بین این اعداد را حدس بزنیم؛ عدد اول ۱ می باشد. عدد دوم چگونه به وجود آمده است؟

اگر عدد ۲ را با \(a_{1} = 1\) جمع کنیم، \(a_{2}\) بدست می آید.

اگر عدد ۳ را با \(a_{2} = 3\) جمع کنیم، \(a_{3}\) بدست می آید.

اگر عدد ۴ را با \(a_{3} = 6\) جمع کنیم، \(a_{4}\) بدست می آید و درنهایت اگر عدد ۵ را با \(a_{4} = 10\) جمع کنیم، \(a_{5}\) بدست می آید. بنابراین رابطه بین اعداد این الگو را بدست آوردیم.

حال بیایید فرض کنیم که دنباله ما بیشتر از ۵ عضو داشته باشد. در آن صورت عدد ششم از دنباله ما چه عددی می شود؟ جواب عدد ۲۱ است. چند عدد دیگر از الگو را در زیر می نویسیم :

\(a_{6} = a_{5} + 6 = 15 + 6 = 21\)

\(a_{7} = a_{6} + 7 = 21 + 7 = 28\)

\(a_{8} = a_{7} + 8 = 28 + 8 = 36\)

\(a_{9} = a_{8} + 9 = 36 + 9 = 45\)

اگر بخواهیم فرمولی برای الگو مدنظر پیدا کنیم، به رابطه زیر می‌رسیم‌:

\(a_{n} = a_{n-1} + n\)

حال یک بار دیگر اعداد الگو را با فرمول بالا بدست آورید و نتیجه را مشاهده کنید. فرمول بالا را جمله عمومی الگو تعریف می کنند چرا که این فرمول ساختار جملات الگو را بطور کامل مشخص می کند.

الگو‌های خطی

به ا‌‌لگویی خطی می‌گویند که اختلاف اعداد آن‌ها از یکدیگر، مقداری ثابت است. برای مثال ا‌‌‌لگو زیر یک ا‌لگوی خطی است چراکه هر عدد با عدد قبل و بعد خود، به اندازه ۳ واحد اختلاف دارد :

۱ , ۴ , ۷ , ۱۰ , ۱۳ ,۱۶

جمله عمومی تمام ا‌‌لگو‌های خطی، بصورت زیر است‌:

\(t_{n} = an + b\)

که در آن ها a , b ، اعداد حقیقی دلخواد و ثابت هستند.

مثال) در یک ا‌لگوی خطی، جملات هفتم و یازدهم به ترتیب ۳۱ و ۴۷ هستند. جمله عمومی این الگوی خطی را بیابید.

حل) می دانیم که جمله عمومی تمام ا‌‌لگوهای خطی به صورت زیر است‌:

\(t_{n} = an + b\)

بنابراین با استفاده از فرمول بالا، به حل سوال می پردازیم :

\(t_{7} = 7a + b = 31\)

\(t_{11} = 11a + b = 47 \)

با استفاده از دستگاه معادلات، معادله دو مجهولی بالا را حل میکنیم و اعداد a,b را بدست می آوریم‌:

\(a = 4\)

\(b = 3\)

پس جمله عمومی دنباله بالا بصورت زیر می شود‌:

\(t_{n} = 4n + 3\)

به عنوان تمرین بیشتر، اعضای این الگو را با استفاده از رابطه بالا بدست آورید. چه تعداد از این اعداد را می توانید بنویسید؟!

الگو‌های غیرخطی

الگوهای غیر خطی را با ذکر یک مثال توضیح می دهیم. به شکل‌های زیر نگاه کنید. آیا می توانید رابطه بین آن‌ها را بدست آورید‌؟

الگو و دنباله

لازم است بدانید که این تصویر از رابطه خطی پیروی نمی‌کند. اعضای الگوی بالا به صورت زیر نوشته می شوند‌:

\(t_{1} = (1)^{2} + 4(1)\)

\(t_{2} = (2)^{2} + 4(2)\)

\(t_{3} = (3)^{2} + 4(3)\)

با کمی فکر، جمله عمومی الگوی بالا را بدست می آوریم‌:

\(t_{n} = (n)^{2} + 4(n)\)

دنباله

هر تعداد عدد را که پشت سرهم قرار می گیرند، یک دنبا‌له می‌نامیم. این اعداد پشت سر هم، جملات دنبا‌له نامیده می‌شوند. به مثال زیر دقت کنید:

۱ , ۵ , ۱۱ , ۲۳ , ۵۲ , …

توجه ۱ : ممکن است یک دنباله، خودش الگو هم باشد. ولی دنباله ها لزوما الگو نیستند.

دنباله حسابی

دنباله‌ی که در آن هر جمله (به جز جمله اول) با اضافه شدن عددی ثابت به جملهٔ قبل از خودش به دست می‌آید، یک دنبالهٔ حسابی نامیده می‌شود. به آن عدد ثابت، قدر نسبت دنباله می‌گویند. دنباله حسابی مثال زیر را در نظر بگیرید :

۱۰۰ , ۱۰۲ , ۱۰۴ , ۱۰۶ , ۱۰۸ , ۱۱۰ , …

جمله اول این دنباله عدد ۱۰۰ می‌باشد. قدر نسبت این دنباله نیز عدد ۲ است.

\(t_{1} = 100\)

\(d = 2\)

نکته : جمله n ام یک دنباله حسابی با جمله اول \(t_{1}\) و قدر نسبت d به صورت زیر است:

\(t_{n} = t_{1} + (n-1)d\)

دنباله هندسی

دنبالهٔ هندسی، دنباله‌‌ای است که در آن هر جمله (به جز جملهٔ اول) از ضرب جمله قبل از خودش در عددی ثابت و غیر صفر به دست می‌آید. این عدد ثابت را قدر نسبت دنبا‌له می‌نامیم. جمله اول هم باید غیر صفر باشد. به مثال زیر دقت کنید :

۲ , ۶ , ۱۸ , ۵۴ , …

در مثال بالا، جمله اول عدد ۲ می باشد. قدرنسبت دنباله، ۳ است و جملات همگی به ترتیب از ضرب عدد ۳ در جمله قبل از خودشان بدست آمده اند.

نکته : جمله n ام دنباله هندسی به صورت زیر است:

\(t_{n} = t_{1} r^{n-1}\)

مثال) در یک دنبا‌له هندسی، با قدر نسبت ۲ و عدد جمله اول ۵، جمله هفتم را بیابید.

حل) با استفاده از جمله عمومی دنبا‌له‌های هندسی که در بالا ذکر شد، داریم :

\(t_{n} = t_{1} r^{n-1}\)

\(t_{7} = t_{1} r^{6} = 5\times 2^{6} = 5\times 64 = 320\)

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

مجموعه – ریاضی دهم (۱)

مثلثات – ریاضی دهم (۱)

تابع چیست؟ – ریاضی دهم (۱)

معادله درجه دوم – ریاضی دهم (۱)

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *