دترمینان

دترمینان ماتریس – هندسه (۳)

زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به محاسبه دترمینان ماتریس سه در سه بپردازیم. پیشنهاد می‌کنیم قبل از مطالعه این مقاله، جهت آشنایی کامل با مبحث ماتریس‌ها نگاهی بر مقالات زیر داشته باشید:

ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

ضرب ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

وارون ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

حل دو معادله دو مجهول با ماتریس وارون – هندسه دوازدهم (۳)

دترمینان ماتریس دو در دو

به بیان کلی در جبر خطی،‌ دترمینان تابعی است که هر ماتریس مربعی را به یک عدد نسبت می‌دهد. در این مقاله تنها دو حالت ساده دترمینان ماتریس دو در دو و ماتریس سه در سه را بررسی می‌کنیم. قبل از اینکه به محاسبه دترمینان ماتریس دو در دو بپردازیم، این نکته را به یاد داشته باشید که دترمینان ماتریس یک در یک (یعنی یک عدد)، برابر با خود آن عدد است. یعنی:

\(\huge A = [a_{ij}]_{i=j=1} = a \Rightarrow |A| = a\)

حال ماتریس دو در دو زیر را در نظر بگیرید:

ماتریس دو در دو

جهت محاسبه دترمینان یک ماتریس دو در دو به صورت زیر عمل می‌کنیم:

\(\huge A = [a_{ij}]_{2 \times 2} \Rightarrow |A| = a_{11}a_{22} – a_{12}a_{21}\)

مثال) دترمینان ماتریس دو در دو زیر را محاسبه کنید:

\(\large A = \begin{bmatrix} 6 & 3\\ 7 & 2 \end{bmatrix} \Rightarrow |A| = (6 \times 2) – (3 \times 7) = -9\)

دترمینان ماتریس سه در سه

در ادامه این مقاله یک روش ساده، جهت محاسبه دترمینان ماتریس سه در سه ارائه می‌شود. قبل از ارائه روش، نیاز است تا با یکسری از تعاریف آشنا شویم.

کهاد ماتریس

ماتریس دلخواه سه در سه \(A = [a_{ij}]_{3 \times 3}\) را در نظر بگیرید. در این صورت ij-امین کهاد ماتریس A که آن را با \(M_{ij}\) نمایش می‌دهند، ماتریسی دو در دو بوده که از حذف سطر i ام و ستون j ام ماتریس A حاصل می‌شود.

مثال) \(M_{13}\) و \(M_{32}\) را برای ماتریس زیر بیابید:

\(\large A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4\\ 0 & 1 & 5\\ 6 & 3 & -4 \end{bmatrix}\)

با حذف سطر اول و ستون سوم برای \(M_{13}\) داریم:

\(\large M_{13} = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 6 & 3 \end{bmatrix}\)

با حذف سطر سوم و ستون دوم برای \(M_{32}\) داریم:

\(\large M_{32} = \begin{bmatrix} 2 & 4\\ 0 & 5 \end{bmatrix}\)

همسازه ماتریس

ماتریس دلخواه سه در سه \(A = [a_{ij}]_{3 \times 3}\) را در نظر بگیرید. ij-امین همسازه ماتریس A که آن را به صورت \(A_{ij}\) نشان می‌دهند به صورت زیر تعریف می‌شود:

همسازه ماتریس

در رابطه فوق، \(|M_{ij}|\) دترمینان ماتریس دو در دو \(M_{ij}\)، یعنی دترمینان کهاد ماتریس \(A = [a_{ij}]_{3 \times 3}\) است.

مثال) \(A_{13}\) و \(A_{32}\) را برای ماتریس زیر به دست آورید:

\(\large A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 4\\ 0 & 1 & 5\\ 6 & 3 & -4 \end{bmatrix}\)

با توجه به رابطه همسازه ماتریس خواهیم داشت:

\(\large A_{13} = (-1)^{1+3}|M_{13}| = -6\)

\(\large A_{32} = (-1)^{3+2}|M_{32}| = -10\)

محاسبه دترمینان

حال که با مفهوم کهاد ماتریس و همسازه ماتریس آشنا شدیم، با استفاده از آن‌ها به راحتی می‌توانیم دترمینان یک ماتریس سه در سه را محاسبه کنیم.

ابتدا ماتریس سه در سه  \(A = [a_{ij}]_{3 \times 3}\) را در نظر بگیرید.

ماتریس ۳ در ۳

دترمینان یک ماتریس سه در سه نظیر ماتریس فوق، با استفاده از رابطه زیر محاسبه می‌شود.

\(|A| = a_{11}(a_{22}a_{33} – a_{23}a_{32}) – a_{12}(a_{21}a_{33} – a_{23}a_{31}) + a_{13}(a_{21}a_{32} – a_{22}a_{31})\)

با کمی دقت در رابطه فوق، متوجه می‌شویم که می‌توانیم آن را به فرم زیر بنویسیم:

\(|A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\)

در رابطه فوق، \(\huge A_{1j}\) همسازه ماتریس بوده که که در دل خود کهاد ماتریس را نیز شامل می‌شود. در حالت کلی، طبق قضیه‌ای در دنیای ماتریس‌ها، اعداد زیر با یکدیگر برابر هستند.

\(a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\)

\(a_{21}A_{21} + a_{22}A_{22} + a_{23}A_{23}\)

\(a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}\)

\(a_{11}A_{11} + a_{21}A_{21} + a_{31}A_{31}\)

\(a_{12}A_{12} + a_{22}A_{22} + a_{32}A_{32}\)

\(a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33}\)

به عبارت دیگر، همه این ۶ عدد همان دترمینان ماتریس ۳ در ۳ هستند. توجه داشته باشید که هیچ تفاوتی نمی‌کند که از کدام یک از ۶ رابطه فوق جهت محاسبه دترمینان ماتریس استفاده می‌کنید. مقدار عددی هر کدام از این ۶ رابطه با یکدیگر برابر است.

عموماً در اکثر کتاب‌ از رابطه اول جهت محاسبه دترمینان یک ماتریس ۳ در ۳ استفاده می‌کنند. لازم به ذکر است که اگر از همین رابطه اول یعنی \(a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\) برای محاسبه \(\large |A|\) استفاده کنیم، به اصطلاح \(\large |A|\) را با بسط دادن نسبت به سطر اول حساب کرده‌ایم.

همچنین به عنوان مثال اگر از رابطه ششم، یعنی \(a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33}\) استفاده کنیم، \(\large |A|\) را نسبت به ستون سوم حساب کرده‌ایم یا اگر از رابطه سوم یعنی \(a_{31}A_{31} + a_{32}A_{32} + a_{33}A_{33}\) استفاده کنیم، \(\large |A|\) را نسبت به سطر سوم به دست آورده‌ایم و الی آخر.

مثال)

دترمینان ماتریس زیر را محاسبه کنید.

دترمینان ماتریس ۳ در ۳

بسط نسبت به سطر اول:

\(\large |A| = a_{11}A_{11} + a_{12}A_{12} + a_{13}A_{13}\)

\(\large |A| = 3 (2 \times 4 – 3 \times 2) – 5 (4 \times 4 – 3 \times -1) + 2 (4 \times 2 – 2 \times -1) = -69\)

بسط نسبت به ستون سوم:

\(\large |A| = a_{13}A_{13} + a_{23}A_{23} + a_{33}A_{33}\)

\(|A| = 2 (-1)^{1+3}\begin{vmatrix} 4 & 2\\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 3 (-1)^{2+3}\begin{vmatrix} 3 & 5\\ -1 & 2 \end{vmatrix} + 4 (-1)^{3+3}\begin{vmatrix} 3 & 5\\ 4 & 2 \end{vmatrix} = -69\)

مشاهده می‌فرمایید که دو مقدار محاسبه شده برابر بوده و اگر این محاسبه را نسبت به سایر سطر‌ها یا ستون‌ها انجام دهید به نتایج یکسانی خواهید رسید. این امر کمک می‌کند که اگر در ماتریسی برخی از آرایه‌ها صفر بودند، به انتخاب سطر و یا ستون مناسب،‌ محاسبات ساده‌تری داشته باشیم.

مثال)

دترمینان زیر را حساب کنید:

\(\large |A| = \begin{vmatrix} a & b & c\\ 0 & d & e\\ 0 & 0 & f \end{vmatrix}\)

در اینجا به دلیل وجود دو صفر در ستون اول، بهتر است که مقدار دترمینان را با بسط نسبت به ستون اول محاسبه کنیم:

دترمینان ماتریس بالامثلثی

با توجه به این مثال، به خاطر داشته باشید که برای ماتریس‌های ۳ در ۳ بالا مثلثی، پایین مثلثی و یا قطری، دترمینان آن‌ها برابر با حاصل ضرب آرایه‌های روی قطر اصلی است.

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات حوزه فیزیک زیر داشته باشید:

آونگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

ساختار هسته اتم – فیزیک دوازدهم (۳)

انرژی در حرکت هماهنگ ساده – فیزیک دوازدهم (۳)

امواج الکترومغناطیسی – فیزیک دوازدهم (۳)

اثر فوتوالکتریک – فیزیک دوازدهم (۳)

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *