روش ساروس

روش ساروس برای محاسبه دترمینان – هندسه (۳)

زمان مطالعه: ۳ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به روش ساروس جهت محاسبه دترمینان یک ماتریس ۳ در ۳ بپردازیم. می‌توان گفت که روش ساروس‌، روشی ساده‌تر از روشی کلی است که در مقاله زیر عنوان کردیم:

دترمینان ماتریس – هندسه (۳)

فهرست مطالب این نوشته

روش ساروس

توجه داشته باشید که روش ساروس تنها برای محاسبه دترمینان ماتریس‌های سه در سه کاربرد دارد. در ادامه این مقاله دو حالت از روش ساروس را برای شما عزیزان بازگو می‌کنیم.

حالت اول

ابتدا ماتریس ۳ در ۳ دلخواه زیر را در نظر بگیرید.

\(\large A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix}\)

دو ستون اول ماتریس فوق را کنار خودش همانند شکل زیر می‌نویسیم:

\(\large A = \begin{bmatrix} a & b & c\\ d & e & f\\ g & h & i \end{bmatrix} \begin{matrix} a & b\\ d & e\\ g & h \end{matrix}\)

حال مطابق با شکل زیر، دترمینان ماتریس A، برابر با مجموع حاصل ضرب درایه‌های روی قطر اصلی و دو قطر موازی آن (خطوط زرد)، منهای مجموع حاصل ضرب درایه‌های روی قطر فرعی و دو قطر موازی آن (خطوط آبی).

روش ساروس

یعنی:

\(\LARGE | A | = ( aei + bfg + cdh ) – ( ceg + afh + bdi )\)

مثال) دترمینان ماتریس زیر را به روش ساروس به دست آورید:

\(\LARGE A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\)

با استفاده از روش ساروس داریم:

\(\LARGE A = \begin{bmatrix} 2 & 3 & 4\\ 1 & 2 & 3\\ -1 & -2 & 1 \end{bmatrix}\begin{matrix} 2 & 3\\ 1 & 2\\ -1 & -2 \end{matrix}\)

\(\LARGE \Rightarrow | A | = ( 4 – 9 – 8 ) – ( -8 -12 +3) = 4\)

به عنوان تمرین پیشنهاد می‌کنیم تا دترمینان ماتریس فوق را با بسط بر حسب سطر سوم (روش بسط) به دست آورید. با انجام تمرین مشاهده خواهید کرد که روش ساروس روشی راحت‌تر و ساده‌تر است.

حالت دوم

این حالت نیز دقیقاً مشابه به حالت قبل بوده و در اساس تفاوتی با آن ندارد. به این جهت، ماتریس ۳ در ۳ زیر را در نظر بگیرید. در این حالت همانند شکل زیر، ماتریس را دوبار در کنار یکدیگر می‌نویسیم.

\(\LARGE A = \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix}\)

محاسبه دترمینان به روش ساروس

در اینجا نیز با توجه به شماره خطوط در شکل فوق، دترمینان ماتریس A به صورت زیر تعریف می‌شود.

روش ساروس

مثال) دترمینان ماتریس زیر را به روش ساروس محاسبه کنید:

\(\LARGE A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2\\ 4 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\)

با استفاده از روش ساروس داریم:

دترمینان ماتریس

\(\LARGE A = ( 24 -15 + 16) – ( -4 + 80 + 18) = -69\)

همچنین با استفاده از روش گفته شده در حالت اول نیز به نتیجه مشابه‌ای می‌رسیم:

\(\LARGE A = \begin{bmatrix} 3 & 5 & 2\\ 4 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 4 \end{bmatrix}\begin{matrix} 3 & 5\\ 4 & 2\\ 1 & 2 \end{matrix}\)

\(A = (24 – 15 +16 ) – ( -4 + 18 + 80 ) = -69\)

لازم به ذکر است که یک حالت دیگر از روش سا‌روس این است که به جای نوشتن دو ستون اول در کنار سمت راست ماتریس، می‌توانیم دو سطر اول را در زیر ماتریس همانند شکل زیر بنویسیم (روش ساروس عمودی).

ساروس - عمودی

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات زیر نیز داشته باشید.

ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

ضرب ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

وارون ماتریس – هندسه دوازدهم (۳)

حل دو معادله دو مجهول با ماتریس وارون – هندسه دوازدهم (۳)

اشکان ابوالحسنی، مدیریت واحد وبلاگ بین جو، کارشناس ارشد فوتونیک (گرایش مخابرات نوری) و دانشجوی دکتری در رشته مهندسی برق مخابرات - گرایش میدان و موج است. در پی علاقه ایشان به مباحث آموزشی، به تولید محتوا در حوزه فیزیک پیش از دانشگاه در وبلاگ بین جو نیز می‌پردازد.

دیدگاهتان را بنویسید

نشانی ایمیل شما منتشر نخواهد شد. بخش‌های موردنیاز علامت‌گذاری شده‌اند *