زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به توضیح مختصات سه بعدی یا همان فضای \(\large R^{3}\) بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

مختصات دو بعدی

منظور از مختصات دو بعدی همان دستگاه مختصاتی است بیانگر مفهوم صفحه بوده و دارای دو محور است. هر نقطه از یک صفحه را می‌توان توسط یک زوج مرتب همانند (x,y) در دستگاه مختصات دو بعدی نشان داد. به طور کلی مجموعه زیر، شامل تمامی نقاط صفحه بوده که آن را با \(\large R^{2}\) نمایش می‌دهند. \(\large R^{2}\) بیانگر مختصات دو بعدی است.

\(\large \mathbb{R}^{2} = [ (x,y)| x , y \ \epsilon \ \mathbb{R} ]\)

به زبان ساده‌تر همان دستگاه مختصات x (محور افقی) و y (محور عمودی)، بیانگر فضای دو بعدی هستند. وقتی می‌گوییم فضای دو بعدی منظور صفحه است؛ یعنی فقط عرض و طول داریم. به طور مثال در شکل زیر یک مستطیل در دستگاه مختصات دو بعدی نشان داده شده است.

مختصات دو بعدی

لازم به ذکر است که بسیاری از توابعی که با آن‌ها آشنایی داریدو نمودار آن‌ها را رسم می‌کنید، نظیر معادله خط، معادله درجه دوم، تابع لگاریتمی، توابع مثلثاتی و …، رسم‌هایی در صفحه یعنی دستگاه مختصات دو بعدی (فضای x و y) هستند.

لازم به ذکر است که مختصات یک بعدی نیز تنها شامل یک محور (طول) است. به طور مثال طول یک لوله را می‌توان در مختصات یک بعدی (یک محور) نمایش داد. همچنین خوب است بدانید که در دنیای فیزیک از مختصات صفر بعدی نیز استفاده می‌کنند. مختصات صفر بعدی به معنی یک نقطه است. در واقع یک نقطه هیچ بعدی (نه طول، نه عرض و نه ارتفاع) ندارد.

مختصات سه بعدی

گفتیم که فضای دو بعدی به معنی صفحه بوده و تنها دارای دو مولفه x (طول) و y (عرض) است. حال اگر بخواهیم یک مکعب مستطیل را در دستگاه مختصات نمایش دهیم چه؟ نمایش اجسام سه بعدی نظیر مکعب مستطیل (دارای طول، عرض و ارتفاع) در دستگاه مختصات دو بعدی امکان پذیر نیست و برای نمایش آن‌ها باید از دستگاه مختصات سه بعدی که دارای یک محور بیشتر موسوم به محور z (ارتفاع) است، استفاده کنیم.

مختصات سه بعدی

در دنیای واقعی ما با سه بعد سروکار داریم. به طور مثال نمایش یک میز در دستگاه مختصات سه بعدی به شکل زیر است.

فضای R3

مشاهده می‌کنید که در دستگاه مختصات سه بعدی‌، یعنی فضای سه بعدی ما تصویری کامل از جسم را می‌توانیم ارائه کنیم. حال به نظر شما آیا می‌توان این میز را در یک صفحه (محتصات دو بعدی) به طور کامل نمایش داد؟ پاسخ خیر است. با انتخاب هر صفحه یعنی انتخاب دلخواه دو محور، ما اطلاعات مربوط به محور دیگر را از دست می‌دهیم.

به طور مثال فرض کنید که میز را در صفحه (دو بعدی) zy نمایش دهیم. در این صورت اطلاعات مربوط به محور x یعنی عرض میز در شکل فوق، از بین می‌رود. همان‌طور که در شکل نیز مشخص است، فضای سه بعدی \(\large R^{3}\) از تقاطع سه صفحه xy، zy و xy به وجود می‌آید. به عبارت دیگر، دستگاه مختصات سه بعدی‌، متشکل از سه محور دو به دو عمود بر هم که در نقطه‌ای نظیر O، عموماً نقطه (۰,۰,۰) یا همان مبدا مختصات، متقاطع اند، است.

فضای R3

پس مشابه با تعریف فضای دو بعدی‌، مجموعه تمامی سه‌ تایی های مرتب (x,y,z) که در آن‌ها x , y و z اعداد حقیقی هستند، به فضای \(\large R^{3}\) یا فضای سه بعدی موسوم است.

\(\large \mathbb{R}^{3} = [ (x,y,z)| x , y , z\ \epsilon \ \mathbb{R} ]\)

همانند دستگاه مختصات دو بعدی که می‌توانیم محور‌ها را در علامت‌های منفی نیز امتداد دهیم، در دستگاه مختصات سه بعدی نیز می‌توانیم اینکار را انجام دهیم. با اینکار فضای سه بعدی یا دستگاه مختصات سه بعدی به ۸ ناحیه از حیث علامت (مثبت یا منفی) محور‌ها تقسیم بندی می‌شود. در واقع چهار ناحیه بالای صفحه xy در شکل فوق و چهار ناحیه در زیر صفحه xy تشکیل می‌شود.

به طور قرار دارد این نواحی را مطابق به جدول زیر شماره گذاری می‌کنند.

ناحیه بندی فضای سه بعدی

این نواحی در شکل زیر نیز نشان داده شده‌اند.

علامت ناحیه بندی فضای سه بعدی

جهت نمایش یک نقطه در دستگاه مختصات سه بعدی‌، مثل (۴,۲,۱) کافی است که ابتدا در مختصات دو بعدی (۴,۲) را رسم کرده و سپس به آن بعد سوم یعنی ارتفاع (روی محور z) بدهیم.

نمایش در فضای سه بعدی

به این ترتیب هر شکل پیچیده‌ای را می‌توان در فضای سه بعدی نمایش داد.

شکل های سه بعدی

فاصله یک نقطه از مبدا مختصات در فضای \(\large R^{3}\)

فرض کنید نقطه \(\large P = (x_{0},y_{0},z_{0})\) را در دستگاه مختصات سه بعدی همانند شکل زیر رسم کرده‌ایم. برای انکه فاصله مبدا مختصات یعنی نقطه (۰,۰,۰) تا نقطه \(\large P = (x_{0},y_{0},z_{0})\) را بیابیم تنها کافی است که رابطه فیثاغورس استفاده کنیم.

مختصات سه بعدی

به این منظور، همانند شکل فوق، از نقطه P یک خط عمود بر صفحه xy (یعنی خطی موازی با محور z) رسم می‌کنیم. پای عمود را \(\large P’\) می‌نامیم. با استفاده از قضیه فیثاغورس در صفحه xy می‌تونیم طول پاره خط \(\large OP’\) را به صورت زیر بیابیم.

\(\large | O P’ | = \sqrt{ x_{0}^{2} + y_{0}^{2} }\)

حال دوباره به شکل فوق توجه کنید. این بار از قضیه فیثاغورس در مثلث \(\large OPP’\) استفاده می‌کنیم. در اینجا طول وتر مثلث قائم الزاویه \(\large OPP’\) همان طول OP یعنی فاصله مبدا مختصات از نقطه P است.

\(\large | O P | = \sqrt{ |OP’|^{2} + y_{0}^{2} }\)

\(\large | O P | = \sqrt{ x_{0}^{2} + y_{0}^{2} + z_{0}^{2} }\)

رابطه فوق را می‌توان برای محاسبه فاصله دو نقطه دلخواه در فضا یا مختصات سه بعدی نیز به صورت زیر تعمیم داد.

\(\large | P Q | = \sqrt{ (x_{0} – x_{1})^{2} + (y_{0} – y_{1})^{2} + (z_{0} – z_{1})^{2} }\)

فاصله دو نقطه از یکدیگر

دوره آموزشی بردارها و فضای سه بعدی

در انتهای این مقاله دوره آموزش ویدیویی بردارها و فضای سه بعدی از کانال ریاضی پلاس بین جو را خدمت شما معرفی می‌کنیم. این دوره در مدت زمان تقریبی ۲ ساعت تمامی مطالب مربوط به مبحث بردار و فضای سه بعدی را پوشش می‌دهد. رئوس مطالب ارائه شده در این دوره ویدیویی به شرح ذیل است:

  • دستگاه مختصات – فاصله بین دو نقطه در دستگاه مختصات سه بعدی – فاصله نقطه تا محورهای مختصات – فاصله نقطه تا صفحات مختصات – مختصات نقاط روی محورهای مختصات – مختصات نقاط روی صفحات مختصات – تصویر نقاط روی محورهای مختصات – تصویر نقاط روی صفحات مختصات – قرینه نسبت به مبدا – قرینه نسبت به محورها – قرینه نسبت به صفحات
  • تعریف بردار و اندازه بردار – جمع و تفریق بردارها – قرینه بردارها – تعبیر هندسی جمع و تفریق بردارها و خواص جمع و تفریق – ضرب عدد در بردار – بردارهای یکه
  • زاویه بردارها با محور – ضرب داخلی و روابط آن
  • تصویر قائم یک بردار بر بردار دیگر – قرینه یک بردار نسبت به بردار دیگر
  • ضرب خارجی – اندازه و جهت ضرب خارجی دو بردار – ویژگی های ضرب خارجی
  • تعبیر هندسی اندازه ضرب خارجی – ضرب مختلط و تعبیر هندسی آن

جهت مشاهده این دوره با تخفیف ویژه ۲۰ درصدی روی لینک ذیل کلیک کنید. همچنین در این دوره امکان خرید قسمتی متناسب با مبحث مد نظر شما وجود دارد. با کانال‌های پلاس بین جو فراتر از کتاب درسی بیاموزید.

دوره آموزشی بردار و فضای سه بعدی

امیدواریم تا این مقاله مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر سایر مقالات زیر نیز داشته باشید.

میانگین امتیازات ۵ از ۵