زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث حجم متوازی السطوح از کتاب هندسه دوازدهم (۳) بپردازیم. با ما در ادامه این مقاله همراه باشید.

از آنجایی که در این مقاله ضرب خارجی و ضرب داخلی دو بردار مورد استفاده قرار می‌گیرند، پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر دو مقاله زیر داشته باشید.

حجم متوازی السطوح

از دروس ریاضی و هندسه می‌دانیم که جهت محاسبه حجم متوازی السطوح به اندازه ارتفاع و قاعده (مساحت یک وجه) نیاز داریم. حجم متوازی السطوح از حاصل ضرب این دو مقدار به دست می آید. پس ابتدا به کمک مفاهیمی که از ضرب داخلی و ضرب خارجی بردارها فرا گرفتیم، اندازه این دو مقدار را به دست می‌آوریم.

فرض کنید که سه بردار \(\large \overrightarrow{b}\) ، \(\large \overrightarrow{a}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) سه برداری باشند که در یک صفحه واقع نباشند. می‌توانیم همانند شکل زیر یک متوازی السطوح روی این سه بردار بنا کنیم.

حجم متوازی السطوح

با توجه به شکل فوق، مشخص است که ارتفاع این متوازی السطوح برابر با تصویر قائم بردار \(\large \overrightarrow{a}\) روی بردار \(\large \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\) است. در مقاله ضرب داخلی دیدیم که تصویر قائم برداری نظیر \(\large \overrightarrow{x}\) روی برداری دیگر نظیر \(\large \overrightarrow{y}\) که آن را با \(\large \overrightarrow{x’}\) نمایش می‌دهند به صورت زیر محاسبه می‌شود.

\(\large \overrightarrow{x’} = \frac{\overrightarrow{x}.\overrightarrow{y}}{|\overrightarrow{y}|^{2}}\overrightarrow{y}\)

تصویر قائم

پس با توجه به رابطه فوق، تصویر قائم بردار \(\large \overrightarrow{a}\) روی بردار \(\large \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\) که در واقع همان ارتفاع متوازی السطوح است به صورت زیر در می‌آید:

\(\large \large \large h \equiv \overrightarrow{a’} = \frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})}{|\overrightarrow{b}\times \overrightarrow{c}|^{2}}(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})\)

در صورتی که اندازه این بردار را محاسبه کنیم، این رابطه به صورت رابطه ساده‌تر زیر در می‌آید. توجه داشته باشید که نیازی به محاسبات نیست، تنها با قرار دادن عبارت در بین دو نماد | | که بیانگر اندازه است، عبارت را ساده می‌کنیم. پس اندازه ارتفاع به صورت زیر نتیجه می‌شود.

\(\large \large \large h \equiv |\overrightarrow{a’}| = |\frac{\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})}{|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|^{2}}(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|=\frac{|\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|}{|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|^{2}}|(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|\)

\(\large \Rightarrow h \equiv \frac{|\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|}{|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|}\)

حال به سراغ محاسبه مساحت قاعده می‌رویم. در شکل فوق مشاهده می‌فرمایید که قاعده این متوازی السطوح‌ توسط دو بردار \(\large \overrightarrow{b}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) ساخته شده است. در مقاله ضرب خارجی دیدیم که اندازه ضرب خارجی دو بردار برابر با مساحت متوازی الاضلاعی است که تشکیل می‌دهند (شکل زیر).

مساحت متوازی الاضلاع

حال به راحتی از ضرب عددی ارتفاع به دست آمده در مساحت قاعده، می‌توانیم حجم متوازی السطوح را به شکل زیر به دست آوریم. در اینجا مساحت قاعده را با S و حجم متوازی السطوح را با V نمایش می‌دهیم.

\(\large V = S h = |\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c}|\frac{|\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|}{|\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}|}=|\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|\)

توجه داشته باشید که در محاسبه حجم متوازی السطوح می‌توانستیم هر یک از وجوه را به عنوان قاعده در نظر بگیریم. در این صورت در انتخاب ارتفاع نیز باید دقت کنیم. پس به طور کلی، حجم متوازی السطوح یی که روی سه بردار \(\large \overrightarrow{b}\) ، \(\large \overrightarrow{a}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) بنا می‌شود به صورت زیر به دست می‌آید:

\(\large V = |\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|=|\overrightarrow{b}.(\overrightarrow{c} \times \overrightarrow{a})|=|\overrightarrow{c}.(\overrightarrow{a} \times \overrightarrow{b})|\)

نکات مهم !

برای آنکه یک متوازی السطوح تشکیل گردد، سه بردار \(\large \overrightarrow{b}\) ، \(\large \overrightarrow{a}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) نباید در یک صفحه باشند. در صورتی که این سه بردار در یک صفحه قرار گیرند، متوازی السطوح به یک متوازی الاضلاع یا یک خط و یا یک نقطه تبدیل می‌شود. بدیهی است که وقتی سه بردار در یک صفحه باشند، نهایت فضای ما دو بعدی شده و لذا بعد سوم (ارتفاع) نداریم.

همچنین بدیهی است که در این حالت حجم متوازی السطوح برابر با صفر است چرا که ارتفاع صفر است. همچنین مقدار \(\large |\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c})|\) نیز صفر است. چرا که هر سه بردار در یک صفحه‌اند و حاصل ضرب خارجی دو بردار \(\large \overrightarrow{b}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) ، یعنی \(\large \overrightarrow{b} \times \overrightarrow{c}\)، که از خواص ضرب خارجی می‌دانیم عمود بر دو دو بردار \(\large \overrightarrow{b}\) و \(\large \overrightarrow{c}\) است، بر بردار \(\large \overrightarrow{a}\) که در همان صفحه است نیز عمود است.

از خواص ضرب داخلی نیز می‌دانیم که ضرب داخلی دو بردار عمود بر یکدیگر، صفر است.
این نکته در جهت عکس نیز کاربرد دارد. در واقع اگر به شما بگویند تا بررسی کنید که سه بردار دلخواه در یک صفحه قرار دارند یا خیر، می‌توانید مقدار  را محاسبه کنید. اگر مقدار به دست آمده صفر باشد، به این معنی است که حجم متوازی السطوح تولید شده صفر است و این یعنی سه بردار در یک صفحه‌اند در غیر این صورت سه بردار در یک صفحه نیستند.

حجم متوازی السطوح از روش دترمینان

حجم متوازی السطوح پدید آمده از سه \(\large \overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) ، \(\large \overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) و \(\large \overrightarrow{a}=(a_{1},a_{2},a_{3})\) با استفاده از دترمینان نیز قابل محاسبه است. در اینجا مقدار دترمینان را با K نمایش می‌دهیم.

\(\large K = \begin{vmatrix} a_{1} & a_{2} & a_{3}\\ b_{1} & b_{2} & b_{3}\\ c_{1} & c_{2} & c_{3} \end{vmatrix} \Rightarrow V = |K|\)

\(\large \Rightarrow |K|=|\overrightarrow{a}.(\overrightarrow{b}\times\overrightarrow{c})|\)

در این رابط پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر مقالات مربوط به محاسبه دترمینان ماتریس سه در سه داشته باشید.

دوره آموزشی بردارها و فضای سه بعدی

در انتهای این مقاله دوره آموزش ویدیویی بردارها و فضای سه بعدی از کانال ریاضی پلاس بین جو را خدمت شما معرفی می‌کنیم. این دوره در مدت زمان تقریبی ۲ ساعت تمامی مطالب مربوط به مبحث بردار و فضای سه بعدی را پوشش می‌دهد. رئوس مطالب ارائه شده در این دوره ویدیویی به شرح ذیل است:

  • دستگاه مختصات – فاصله بین دو نقطه در دستگاه مختصات سه بعدی – فاصله نقطه تا محورهای مختصات – فاصله نقطه تا صفحات مختصات – مختصات نقاط روی محورهای مختصات – مختصات نقاط روی صفحات مختصات – تصویر نقاط روی محورهای مختصات – تصویر نقاط روی صفحات مختصات – قرینه نسبت به مبدا – قرینه نسبت به محورها – قرینه نسبت به صفحات
  • تعریف بردار و اندازه بردار – جمع و تفریق بردارها – قرینه بردارها – تعبیر هندسی جمع و تفریق بردارها و خواص جمع و تفریق – ضرب عدد در بردار – بردارهای یکه
  • زاویه بردارها با محور – ضرب داخلی و روابط آن
  • تصویر قائم یک بردار بر بردار دیگر – قرینه یک بردار نسبت به بردار دیگر
  • ضرب خارجی – اندازه و جهت ضرب خارجی دو بردار – ویژگی های ضرب خارجی
  • تعبیر هندسی اندازه ضرب خارجی – ضرب مختلط و تعبیر هندسی آن

جهت مشاهده این دوره با تخفیف ویژه ۲۰ درصدی روی لینک ذیل کلیک کنید. همچنین در این دوره امکان خرید قسمتی متناسب با مبحث مد نظر شما وجود دارد. با کانال‌های پلاس بین جو فراتر از کتاب درسی بیاموزید.

دوره آموزشی بردار و فضای سه بعدی

در انتها پیشنهاد می‌کنیم که نگاهی بر سایر مقالات بین جو برای کتاب هندسه دوازدهم داشته باشید.

میانگین امتیازات ۵ از ۵