زمان مطالعه: ۷ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث حدهای نامتناهی از کتاب حسابان (۲) رشته ریاضی و فیزیک و ریاضی (۳) رشته تجربی بپردازیم. با ما تا انتهای این مقاله همراه باشید.

حدهای نامتناهی

در این مقاله قصد داریم تا مفهوم حدهای نامتناهی را با یک مثال بسیار شاخص، یعنی تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) بررسی کنیم. قبل از آن بهتر است تا نگاهی بر تعریف حد (Limit) داشته باشیم.

تعریف حد

عبارت ریاضی زیر تعریف حد تابع f(x) در نقطه a است.

تعریف حد

عبارت فوق بیان می‌کند: به شرطی که x، یعنی متغیر تابع f(x) را به اندازه کافی به a (از دو طرف) نزدیک کنیم و بتوانیم مقدارهای f(x) را به هر مقدار دلخواهی به L نزدیک کنیم، L حد تابع f(x) در نقطه a است. این تعریف در شکل زیر ملموس تر است.

نمودار تعریف حد
متغیر تابع f(x) یعنی همان x از هر دو طرف به نقطه a نزدیک می‌شود. همچنین مقدارهای f(x) به ازای xهای مختلف در حوالی نقطه a به مقدار L نزدیک می‌شوند. پس عدد L حد تابع f(x) در a است.

بررسی رفتار تابع \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) در همسایگی نقطه \(\large x=0\)

نمودار تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) به شکل زیر است.

one on x graph
نمودار تابع گویای f(x)=1/x

یه نظر شما در صورتی که متغیر x (مخرج عبارت) به عدد صفر نزدیک شود، مقدار y=f(x) چقدر خواهد بود ؟! آیا تفاوتی می‌کند که از کدام سمت به عدد صفر نزدیک شویم ؟! در ادامه با بررسی این تابع در همسایگی راست و چپ نقطه x=0 به این سوال‌ها پاسخ می‌دهیم.

ابتدا اجازه دهید همسایگی راست نقطه x=0 را بررسی کنیم. یعنی می‌خواهیم از سمت راست به نقطه x=0 نزدیک شده و رفتار تابع f(x) را مشاهده کنیم. به این منظور می‌توانیم جدول زیر را تشکیل دهیم.

حد نامتناهی

مشاهده می‌فرمایید که هرچه مقدار x کوچکتر می‌شود، یعنی به ۰ نزدیک تر می‌شویم، مقدار عددی تابع f(x) نیز افزایش می‌یابد. پس می‌توان گفت که وقتی x با مقادیر مثبت (بزرگتر از صفر) به نقطه x=0 نزدیک می‌شود، تابع f(x) بدون هیچ محدودیتی افزایش پیدا می‌کند. این امر در نمودار تابع \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) نیز مشخص است. مشاهده می‌کنید که با نزدیک شده از سمت راست به مبدا مختصات (x=0)، مقدار y=f(x) به سمت مثبت بی نهایت رفته و هیچ تلاقی با محور عمودی y=f(x) ندارد.

به عبارت دیگر،به شرطی که x (مقادیر مثبت) به اندازه کافی به x=0 نزدیک شود، مقدار عددی f(x) را می‌توان از هر عدد مثبت دلخواهی بزرگتر فرض کرد. در این صورت می‌توانیم از نماد ∞+ برای آن استفاده کنیم. یعنی:

حدهای نامتناهی
بالاوند + برای عدد صفر به معنی نزدیک شدن از سمت راست (همسایگی راست) به عدد x=0 است.

توجه داشته باشید که نماد ∞+ بیانگر این موضوع است که حد این تابع در همسایگی راست نقطه x=0 موجود نیست. چرا که به هیچ عدد خاصی نزدیک نمی‌شود. در واقع هیچ عدد ثابتی را نمی‌توانیم در نظر بگیریم که بگوییم f(x) به این عدد نزدیک می‌شود. پس ∞+ تنها یک نماد بوده که نشان می‌دهد، مقدار تابع از هر عدد مثبتی می‌تواند بزرگتر باشد.

از آنجایی که حد تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) در همسایگی راست نقطه x=0 تعریف شده نیست، یعنی به یک عدد مشخص منتهی نمی‌شود، حد آن را در این نقطه نامتناهی می‌نامند. به عبارت دیگر، مبحث حدهای نامنتاهی به بررسی رفتار چنین توابعی می‌پردازد.

حال به نظر شما رفتار تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) در همسایگی چپ نقطه x=0 چگونه است ؟! یعنی اگر از سمت چپ به نقطه x=0 نزدیک شویم، رفتار تابع f(x) چگونه است ؟! در اینجا نیز روندی مشابه با بررسی تابع در همسایگی راست x=0 طی می‌کنیم. در این صورت داریم:

حدهای نامتناهی
بالاوند – برای عدد صفر به معنی نزدیک شدن از سمت چپ (همسایگی چپ) به عدد x=0 است.

تا به اینجا با حدهای نامتناهی در همسایگی یک طرفه آشنا شدیم.

تعریف حدهای نامتناهی یک طرفه

فرض کنید که تابع f در یک همسایگی راست نقطه‌ای نظیر a تعریف شده باشد. در این صورت عبارت زیر،

حد نامتناهی مثبت

بدین معنی است که می‌توانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم، از هر عدد مثبتی بزرگتر در نظر بگیریم، به شرطی که x را از سمت راست به اندازه کافی به a نزدیک کنیم.

همچنین فرض کنید که تابع f در یک همسایگی چپ نقطه‌ای نظیر a تعریف شده باشد. در این صورت عبارت زیر،

حد منتاهی یک طرفه

بدین معنی است که می‌توانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم، از هر عدد مثبتی بزرگتر در نظر بگیریم، به شرطی که x را از سمت چپ به اندازه کافی به a نزدیک کنیم.

لازم به ذکر است که تعریف حدهای نامتناهی یک طرفه برای دو حالت زیر نیز مشابه با دو تعریف فوق، قابل تعریف است.

حد نامتناهی منفی

توجه داشته باشید که عنوان یک طرفه به این منظور است که تنها از یک سمت (در همسایگی راست و یا چپ)، حد تابع نامتناهی است. توصیف حالت‌های مختلف حدهای نامتناهی یک طرفه در شکل زیر آورده شده است.

حدهای یک طرفه نامتناهی

تعریف حدهای نامتناهی (دو طرفه)

در این بخش می‌خواهیم حدهای نامتناهی دو طرفه را بررسی کنیم. یعنی تفاوتی نداشته باشد که از کدام سمت به نقطه‌ مد نظر نزدیک می‌شویم. به عبارت دیگر قصد داریم تا حد تابع را در همسایگی محذوف یک نقطه بررسی کنیم. یک مثال بسیار خوب برای بیان این مفهوم، تابع \(\large f(x) = \frac{1}{|x|}\) است. نمودار این تابع به شکل زیر است.

1 on abs(x) graphمی‌دانیم که قدر مطلق، قسمت منفی نمودار را به قسمت مثبت منتقل (عکس) می‌کند. پس قسمت منفی نمودار تابع \(\large f(x) = \frac{1}{x}\) ، به قسمت مثبت محور y منتقل شده و نمودار بالا شکل می‌گیرد.

حال اجازه دهید رفتار این تابع را در همسایگی محذوف نقطه x=0 بررسی کنیم. از نمودار شکل فوق مشخص است که چه از سمت راست به نقطه x=0 نزدیک شویم (همسایگی راست) و چه از سمت چپ به نقطه x=0 نزدیک شویم (همسایگی چپ)، تابع به مقدار مشخصی نزدیک نشده و لذا حد متناهی ندارد. در این حالت، حد تابع مذکور در نقطه x=0 نامتناهی است. یعنی:

حد نامتناهی دو طرفه

مشاهده می‌فرمایید که در این حالت از بالاوند + و یا – برای نقطه x=0 استفاده نکردیم.

تعریف همسایگی محذوف

در صورتی که نقطه \(\large x_{0}\) در بازه \(\large (a,b)\) نباشد، مجموعه  \(\large (a,b) – {x_{0}}\) به همسایگی محذوف \(\large x_{0}\) موسوم است.

همسایگی محذوف

تعریف حدهای نامتناهی (همسایگی محذوف – دو طرفه)

فرض کنید که تابع f در یک همسایگی محدوف نقطه‌ای نظیر a تعریف شده باشد. در این صورت عبارت زیر،

حد نامتناهی دو طرفه

بدین معنی است که می‌توانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم، از هر عدد مثبتی بزرگتر در نظر بگیریم، به شرطی که x را به اندازه کافی به a نزدیک کنیم (چه از راست و چه از چپ).

همچنین فرض کنید که تابع f در یک همسایگی محدوف نقطه‌ای نظیر a تعریف شده باشد. در این صورت عبارت زیر،

حد نامتناهی دو طرفه

بدین معنی است که می‌توانیم f(x) را به دلخواه هر قدر که بخواهیم، از هر عدد منفی کوچکتر در نظر بگیریم، به شرطی که x را به اندازه کافی به a نزدیک کنیم (چه از راست و چه از چپ).

معرفی دوره آموزش ویدیویی حد و پیوستگی

امیدواریم تا مقاله حدهای نامتناهی مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها در صورتی که علاقه‌مند به یادگیری کامل مبحث حد و پیوستگی هستید، دوره‌های آموزشی زیر از کانال ریاضی پلاس بین جو را خدمت شما عزیزان معرفی می‌کنیم. این دوره‌ها نه تنها شما را برای اخذ نمره ۲۰ در امتحانات پایان ترم آماده می‌کند، برای آزمون سراسری کنکور نیز بسیار مفید است.

همچنین از آنجایی که برخی از مباحث این دوره‌ها فراتر از سطح کتاب درسی است، این دوره‌ها برای دانش آموزان المپیادی و سال آخر دبیرستان که قصد دارند در دروس ریاضی عمومی ۱ و ۲ دانشگاه با آمادگی کامل حاضر شوند، پیشنهاد می‌شوند. لازم به ذکر است که امکان تهیه قسمتی از دروه‌های معرفی شده امکان پذیر است.

دوره اول

این دوره در مدت زمان ۱ ساعت و ۵۱ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • مفهوم حد، حد راست و حد چپ، همسایگی
  • برخی از قضایای حد
  • حد توابع کسری
  • پیوستگی توابع

حد و پیوستگی

دوره دوم (کامل‌‌تر)

این دوره در مدت زمان حدودی ۲ ساعت و ۳۰ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • تعریف حد در یک نقطه – پیوستگی
  • قضایای حد – حالت های مختلف حد تابع
  • دنباله ها و حد – قضیه فشردگی (ساندویچ) – پیوستگی تابع
  • پیوستگی راست و چپ – پیوستگی در یک نقطه و قضایای آن – بررسی پیوستگی برخی از توابع خاص
  • پیوستگی تابع معکوس (وارون) یک تابع پیوسته – قضیه بولتزانو – قضیه مقدار میانی
  • مجانب های منحنی (مایل، عمود، افقی)

حد و پیوستگی

دوره‌های حل نمونه سوال

با سپاس از توجه شما به مقاله حدهای نامتناهی از مجموعه مقالات بین جو.

میانگین امتیازات ۵ از ۵