زمان مطالعه: ۶ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث حد در بی نهایت از کتاب حسابان (۲) رشته ریاضی و فیزیک و ریاضی (۳) رشته تجربی بپردازیم. با ما تا انتهای این مقاله همراه باشید.

در مقاله (حدهای نامتناهی) دیدیم که وقتی متغیر تابعی به یک مقدار مشخص میل می‌کند، مقدار تابع یا به عبارتی حد آن، نامتناهی شده که این امر را با علامت ∞ (بی‌نهایت) عنوان می‌کنیم. حال در این مقاله می‌خواهیم رفتار تابع را هنگامی که متغیر تابع به بی نهایت میل می‌کند، بررسی کنیم.

حد در بی نهایت

یکی از ساده‌ترین مثال‌های دنیای ریاضی جهت بیان مفهوم حد در بی نهایت، بررسی رفتار تابع گویای \(\large f(x) = \frac{1}{x}\)، وقتی است که متغیر آن یعنی x به سمت بی نهایت میل می‌کند.

بررسی رفتار تابع \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) در \(\large x \rightarrow \pm \infty\)

نمودار تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) به شکل زیر است.

one on x graph

یه نظر شما در صورتی که متغیر x (مخرج عبارت) به عدد های بزرگ میل کند (به عبارتی به سمت بی نهایت برود)، مقدار y=f(x) چقدر خواهد بود ؟! در صورتی که متغیر x به سمت عدد‌های بسیار کوچک میل یا به عبارتی به سمت منفی بی نهایت برود، چطور؟!ابتدا اجازه دهید تا x را به سمت مثبت بی نهایت میل دهیم. به این منظور جدول زیر را کامل می‌کنیم.

حد بی نهایت

مشاهده می‌فرمایید که هرچه مقدار x بزرگتر می‌شود، مقدار y=f(x) کوچکتر می‌شود. با این اوصاف می‌توان گفت که وقتی x به اندازه کافی بزرگ شود، می‌توان f(x) را به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کرد. در این صورت می‌گوییم حد تابع f(x) وقتی که x به سمت مثبت بی نهایت میل کند، برابر با صفر است. یعنی:

حد در بی نهایت

این امر در نمودار تابع نیز به وضوح مشخص است. مشاهده می‌کنید که هرچه x بزرگتر می‌شود، مقدار y=f(x) نیز به سمت محور xها یعنی خط y=0 میل می‌کند. توجه داشته باشید که نمودار تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) هیچگاه محورxها یا به عبارتی خط y=0 را قطع نمی‌کند. به همین جهت است که از کلمه میل کردن استفاده می‌کنیم و حد آن را وقتی x به سمت مثبت بی نهایت میل می‌کند، صفر در نظر می‌گیریم.

حد در بی نهایت

حال اجازه دهید، تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) را در بازه \(\large (-\infty,0)\) در نظر بگیریم. در این حالت نیز متناسب با نمودار زیر، مشاهده می‌شود که هرچه مقدار x کوچکتر می‌شود، یعنی x به سمت منفی بی نهایت میل می‌کند، مقدار y=f(x) نیز به صفر میل می‌کندحد در بینهایت

پس اگر x به اندازه کافی کوچک شود، یعنی از هر عدد منفی کوچکتر شود، می‌توانیم f(x) را به اندازه دلخواه به صفر نزدیک کنیم. در این صورت می‌گوییم حد تابع f(x) وقتی که x به سمت منفی بی نهایت میل کند، برابر با صفر است. یعنی:

حد در منفی بی نهایت

پس به طور خلاصه برای تابع گویای \(\large f(x)= \frac{1}{x}\) می‌توانیم بنویسیم:

حد در بینهایت

به طور کلی بدیهی است که هرگاه مخرج یک کسر بزرگ می‌شود (فارغ از علامت آن)، حاصل کسر که در واقع همان تقسیم است (یک عدد تقسیم بر بی نهایت)، به صفر می‌کند.

مثالی از حد در بی نهایت

تابع g(x) نموداری به شکل زیر دارد. می‌خواهیم حد تابع g(x) را وقتی که x به سمت مثبت و منفی بی نهایت میل می‌کند، به دست آوریم.

نمودار تابع - محاسبه حد در بی نهایت

حد در بینهایت

حد در بینهایت

حدهای نامتناهی در بی نهایت

در محاسبه حد برخی توابع نظیر \(\large f(x)=x\) و یا \(\large g(x)=x^{2}\)، وقتی که x به سمت مثبت بی نهایت میل می‌کند، f(x) به عدد خاصی نزدیک نمی‌شود. در واقع در این حالت حد مقداری متناهی (میل کردن مقدار تابع به یک عدد مشخص) ندارد. در واقع با بزرگ شدن مقادیر x مقدارهای f(x) و یا g(x) به عدد خاصی نزدیک نمی‌شوند ولی مقادیر آن‌ها از هر عدد دلخواهی بزرگتر می‌شود. در این حالت با حدهای نامتناهی در بی نهایت روبه‌رو هستیم.

این امر در دو شکل زیر نیز مشخص است. با توجه به نمودار مشاهده می‌شود که اگر x به سمت مثبت بی نهایت میل کند،‌ مقدار f(x) و یا g(x) بی نهایت می‌شود (میل می‌کند).

حدهای نامتناهی در بی نهایت
مقادیر نامتناهی حد در بی نهایت

این حالت وقتی x به سمت منفی بی نهایت میل می‌کند نیز صادق است. پس داریم ( به نمودارها دقت کنید).

حد نامتناهی در بینهایت

حد نامتناهی در بینهایت

حد نامتناهی در بینهایت

حد نامتناهی در بینهایت

امیدواریم تا با این مقاله با مفهوم حد در بی نهایت به خوبی آشنا شده باشید.

معرفی دوره آموزش ویدیویی حد و پیوستگی

امیدواریم تا مقاله حد در بی نهایت مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها در صورتی که علاقه‌مند به یادگیری کامل مبحث حد و پیوستگی هستید، دوره‌های آموزشی زیر از کانال ریاضی پلاس بین جو را خدمت شما عزیزان معرفی می‌کنیم. این دوره‌ها نه تنها شما را برای اخذ نمره ۲۰ در امتحانات پایان ترم آماده می‌کند، برای آزمون سراسری کنکور نیز بسیار مفید است.

همچنین از آنجایی که برخی از مباحث این دوره‌ها فراتر از سطح کتاب درسی است، این دوره‌ها برای دانش آموزان المپیادی و سال آخر دبیرستان که قصد دارند در دروس ریاضی عمومی ۱ و ۲ دانشگاه با آمادگی کامل حاضر شوند، پیشنهاد می‌شوند. لازم به ذکر است که امکان تهیه قسمتی از دروه‌های معرفی شده امکان پذیر است.

دوره اول

این دوره در مدت زمان ۱ ساعت و ۵۱ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • مفهوم حد، حد راست و حد چپ، همسایگی
  • حد در بی نهایت و برخی از قضایای حد
  • حد توابع کسری
  • پیوستگی توابع

حد و پیوستگی

دوره دوم (کامل‌‌تر)

این دوره در مدت زمان حدودی ۲ ساعت و ۳۰ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • تعریف حد در یک نقطه – پیوستگی
  • قضایای حد در بی نهایت – حالت های مختلف حد تابع
  • دنباله ها و حد – قضیه فشردگی (ساندویچ) – پیوستگی تابع
  • پیوستگی راست و چپ – پیوستگی در یک نقطه و قضایای آن – بررسی پیوستگی برخی از توابع خاص
  • پیوستگی تابع معکوس (وارون) یک تابع پیوسته – قضیه بولتزانو – قضیه مقدار میانی
  • مجانب های منحنی (مایل، عمود، افقی) و بررسی حد در بی نهایت توابع

حد و پیوستگی

دوره‌های حل نمونه سوال

با سپاس از توجه شما به مقاله حد در بی نهایت از مجموعه مقالات بین جو.

میانگین امتیازات ۵ از ۵