زمان مطالعه: ۵ دقیقه

با سلام و احترام خدمت شما مخاطبین عزیز وبلاگ بین جو (Binjo)، در این مقاله قصد داریم تا با زبانی ساده به مبحث انواع مجانب در کتاب حسابان (۲) رشته ریاضی و فیزیک بپردازیم. لازم به ذکر است که مبحث مجانب ها برای دانش آموزان رشته علوم تجربی نیز مفید است.

با ما تا انتهای این مطلب همراه باشید تا با مجانب افقی و مجا‌نب عمودی و همچنین مجا‌نب مایل آشنا شوید. قبل از این مقاله، پیشنهاد می‌کنیم تا نگاهی بر دو مقاله مرتبط زیر داشته باشید. چرا که از مفاهیم آن‌ها در این مقاله استفاده خواهیم کرد.

مجانب قائم | مجانب عمودی

به لحاظ لغوی، مجانب (asymptote) یک منحنی، خطی است که فاصله‌ی منحنی از آن در بی‌نهایت به صفر نزدیک می‌شود. جهت واضح‌تر شدن مفهوم این جمله، نمودار دو تابع گویای \(\large f(x) = \frac{1}{x}\) و \(\large g(x) = \frac{1}{x^{2}}\) را در نظر بگیرید. این دو نمودار در زیر آورده شده‌اند.

مجانب عمودی

همان‌طور که از نمودار فوق نیز مشخص است، تابع f(x) در همسایگی نقطه x=0 حد نامتناهی دارد. در واقع چه از سمت راست و چه از سمت چپ به نقطه x=0 نزدیک شویم، حد این تابع وفتی x به سمت صفر میل می‌کند برابر با مثبت بی نهایت می‌شود. یعنی:

مجانب قائم

همچنین برای تابع g(x) می‌توانیم بنویسیم:

مجانب عمودی

مجانب

برای دو تابع f(x) و g(x)، خط x=0 که خطی عمودی است، مجا‌نب قائم یا عمودی دو منحنی است. به عبارت دیگر، خط x=0 (در اینجا محور yها)، خطی است که فاصله منحنی f(x) و یا g(x) با آن رفته رفته کم شده و در بی نهایت به صفر نزدیک می‌شود. به کلمه (فاصله) در این جمله دقت کنید.

به طور کلی، خط x=a را مجا‌نب قائم و یا عمودی تابع y=f(x) می‌گویند، هرگاه حداقل یکی از شروط زیر برقرار باشد.

محانب قائم

محانب قائم

در زیر، مثال‌هایی از مجانب قائم برای توابع مختلفی آورده شده است. به یاد داشته باشید که مجانب قائم، خطی عمودی، یعنی موازی با محور yها است.

مثال مجانب قائم

  • جهت بررسی داشتن یا نداشتن مجانب‌های قائم در توابع کسری، حد توابع را در ریشه‌های مخرج بررسی می‌کنیم.

مجانب افقی

آنچه از عبارت، مجانب افقی مشخص است، خطی افقی است که فاصله آن با منحنی یک تابع، در بی نهایت به صفر نزدیک می‌شود. پس خط y=L را مجانب افقی تابع y=f(x) می‌گویند، هرگاه حداقل یکی از دو شرط زیر برقرار باشد. مجانب افقی، خطی افقی، یعنی موازی با محور xها است.

مجانب افقی

  • پس به یاد داشته باشید که جهت یافتن مجانب افقی‌، کافی است تا حد تابع را در ∞± حساب کنیم.

شکل زیر، مجا‌نب افقی y=1 را برای دو تابع مختلف نشان می‌دهد.

مجانب افقی

مجانب مایل

برخی از توابع دارای مجانب مایل هستند. یعنی مجانب آن‌ها به صورت یک خط مایل (معادله خط کامل) است. به عبارت دیگر خط y=mx+b مجانب مایل یک تابع (منحنی) است، اگر شرط زیر برقرار باشد.

تعریف مجانب مایل

عبارت فوق می‌گوید که اگر x به سمت بی نهایت (چه مثبت و چه منفی) میل کند، منحنی تابع تقریباً برابر با یک خط می‌شود که تفاضل آن از معادله خط برابر با صفر است (حدی).

مجانب مایل

معرفی دوره آموزش ویدیویی حد و پیوستگی

امیدواریم تا مقاله حد در بی نهایت مورد پسند شما عزیزان واقع شده باشد. در انتها در صورتی که علاقه‌مند به یادگیری کامل مبحث حد و پیوستگی هستید، دوره‌های آموزشی زیر از کانال ریاضی پلاس بین جو را خدمت شما عزیزان معرفی می‌کنیم. این دوره‌ها نه تنها شما را برای اخذ نمره ۲۰ در امتحانات پایان ترم آماده می‌کند، برای آزمون سراسری کنکور نیز بسیار مفید است.

همچنین از آنجایی که برخی از مباحث این دوره‌ها فراتر از سطح کتاب درسی است، این دوره‌ها برای دانش آموزان المپیادی و سال آخر دبیرستان که قصد دارند در دروس ریاضی عمومی ۱ و ۲ دانشگاه با آمادگی کامل حاضر شوند، پیشنهاد می‌شوند. لازم به ذکر است که امکان تهیه قسمتی از دروه‌های معرفی شده امکان پذیر است.

دوره اول

این دوره در مدت زمان ۱ ساعت و ۵۱ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • مفهوم حد، حد راست و حد چپ، همسایگی
  • حد در بی نهایت و برخی از قضایای حد
  • حد توابع کسری
  • پیوستگی توابع

حد و پیوستگی

دوره دوم (کامل‌‌تر)

این دوره در مدت زمان حدودی ۲ ساعت و ۳۰ دقیقه برای شما عزیزان در عناوین ذیل تدوین شده است.

  • تعریف حد در یک نقطه – پیوستگی
  • قضایای حد در بی نهایت – حالت های مختلف حد تابع
  • دنباله ها و حد – قضیه فشردگی (ساندویچ) – پیوستگی تابع
  • پیوستگی راست و چپ – پیوستگی در یک نقطه و قضایای آن – بررسی پیوستگی برخی از توابع خاص
  • پیوستگی تابع معکوس (وارون) یک تابع پیوسته – قضیه بولتزانو – قضیه مقدار میانی
  • مجانب های منحنی (مایل، عمود، افقی) و بررسی حد در بی نهایت توابع

حد و پیوستگی

دوره‌های حل نمونه سوال

با سپاس از توجه شما به مقاله حد در بی نهایت از مجموعه مقالات بین جو.

میانگین امتیازات ۵ از ۵